20142019年高考数学真题分类汇编
专题11：解析几何（圆锥曲线文科解答题）（一）
1．（2014新课标Ⅱ文）设
F1
，
F2
分别是
C

x2a2

y2b2
1ab0
的左，右焦点，M
是C上一点且MF2与x
轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．
（1）若直线MN的斜率为3，求C的离心率；4
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且MN5F1N，求a，b．
【考点】椭圆的性质
【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为3，建立关于a，c的方程即可求C的离心4
率；
（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及MN5F1N，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．
【解答】解：（1）M是C上一点且MF2与x轴垂直，
M的横坐标为c，当xc时，yb2，即Mcb2，
a
a
若直线MN的斜率为3，4
b2
即
ta
MF1F2

a2c

b22ac

34
，
即b23aca2c2，2
即c23aca20，2
则e23e10，2
即2e23e20
解得e1或e2（舍去），2
即e1．2
（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D02是线段MF1的中点，
设Mcy，y0，
则c2y21，即y2b4，解得yb2，
a2b2
a2
a
fOD是△MF1F2的中位线，b24，即b24a，
a由MN5F1N，
则MF14F1N，
解得DF12F1N，
即DF12F1N设Nx1，y1，由题意知y10，
则c，22x1c，y1．
即
22yx11c2

c
，即

x1y1

32
1
c
代入椭圆方程得
9c24a2

1b2
1，
将b2

4a
代入得
9a24a4a2

14a
1，
解得a7，b27．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
2．（2014新课标Ⅰ文）已知点P22，圆Cx2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；（2）当OPOM时，求l的方程及POM的面积．【考点】三角形的面积公式；轨迹方程
【分析】（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由CM与MP数量积等于0列式得M的
f轨迹方程；（2）设M的轨迹的圆心为N，由OPOM得到ONPM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的
点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间r