f’xfx成立．lim
2．几种常见函数的导数．例1．已知fxx3，求f’x，f’1，f1’，f’05解析：fxx3∴f’x＝3x2f’13f’05＝3×052075，f1’1’0说明：导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系．后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求导函数值．例2．已知曲线yx2上有两点A11B24，求①割线AB的斜率；②在1，1＋x内的平均变化率；③过点A处的切线斜率kAT；④点A处的切线方程．41解析：①kAB＝＝3；21②平均变化率yf1xf11x212xxxx
③y’＝2x∴y’x＝1＝2即点A处的切线斜率为KAT＝2④点A处的切线方程为y－1＝2x－1即2x－y－1＝0说明：通过本例搞清割线斜率，区间上平均变化率，某点处切线斜率与某点处的导数之间的区别与联系，再次验证了导数与平均变化率之间的关系yy’limx→0x1例3．利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y在点P1，1处的切线倾斜x角及该点处的法线方程．11x解析：解法一：fxyf1x－f11x1x1xy1∴y’x1limlim1x→0xx→01x即在点P处斜率为k＝－1，∴倾斜角为135°，法线方程y－1＝x－1即x－y＝011解法二：yfx＝，y’f’x2∴y’x1＝－1xx即在点P处切线斜率为k－1，以下同法一说明：求导致方法有两种，一种是利用导致定义法求导数，第二种用导数公式，要注意题目要求，若无声明，用最简单的方法即可．例4．已知曲线y3x上的一点P0，0，求过点P的切线方程解析：由y3x∴y’3x
13x2
3
在x0处导数不存在，由图形知
f过P点的切线方程是x0
3ππ例5．设曲线y＝cosx在A，点处的切线倾斜角为θ，求cot－θ的值642
ππ11时k－si
－∴ta
θ－，66221111ta
θπ21∴cot－θπ134ta
θ1ta
θ1423例6．求曲线y＝x在点3，27处的切线与坐标轴所围成的三角形面积．解析：∵yx3∴y’3x2y’x327∴曲线yx3在点3，27处的切线方程为y－27＝27x－3即y＝27x－54其与x轴，y轴交点分别为2，0，0，－541∴切线与坐标轴围成的三角形面积为S×2×54＝5422例7．在抛物线y＝x上取横坐标为x1＝1及x2＝3的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线？解析：已知两点A1，1B3，9，割线斜率为kAB4∵y’＝2x，令y’2x＝4得x＝2即r