④通过作辅助线MN，构建直角梯形的中位线，根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答．【解答】解：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∴ABBC，CDDE，∴∠BAC∠BCA∠DCE∠DEC45°，∴∠ACE90°；∵△ABC∽△CDE
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f∴

，
①∴ta
∠AEC∴ta
∠AEC
；故本选项正确；
222
②∵S△ABCa，S△CDEb，S梯形ABDE（ab），∴S△ACES梯形ABDES△ABCS△CDEab，S△ABCS△CDE（ab）≥ab（ab时取等号），∴S△ABCS△CDE≥S△ACE；故本选项正确；④过点M作MN垂直于BD，垂足为N．∵点M是AE的中点，则MN为梯形中位线，∴N为中点，∴△BMD为等腰三角形，∴BMDM；故本选项正确；③又MN（ABED）（BCCD），∴∠BMD90°，即BM⊥DM；故本选项正确．故选D．
22
4．（2011昆明）如图，在Rt△ABC中，∠ACB90°，BC3，ACED交BC的延长线于D点，垂足为E，则si
∠CAD（）
，AB的垂直平分线
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fA．
B．
C．
D．
【分析】设ADx，则CDx3，在直角△ACD中，运用勾股定理可求出AD、CD的值，即可解答出；【解答】解：设ADx，则CDx3，在直角△ACD中，（x3）解得，x4，∴CD431，∴si
∠CAD故选A．5．将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连AC，则ta
∠DAC的值为（）；
2
x，
2
A．
B．
C．
D．
【分析】欲求∠DAC的正切值，需将此角构造到一个直角三角形中．过C作CE⊥AD于E，设CDBD1，然后分别表示出AD、CE、DE的值，进而可在Rt△ACE中，求得∠DAC的正切值．【解答】解：如图，过C作CE⊥AD于E．∵∠BDC90°，∠DBC∠DCB45°，∴BDDC，设CDBD1，在Rt△ABD中，∠BAD30°，则AD2．在Rt△EDC中，∠CDE∠BAD30°，CD1，则CE，DE．
∴ta
∠DAC


．
故选C．
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f6．（1998台州）如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BDAB，连接CD，若cot∠BCD3，则ta
A（）
A．
B．1
C．
D．
【分析】若想利用cot∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ABC的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．∵ABBD，∴E是CD中点，∴AC2BE，∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE90°．∴BE∥AC．∵ABBD，∴AC2BE．又∵cot∠BCD3，设BEx，则BC3x，AC2x，∴ta
A，故选A．
7．（2011黔东南州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB90°，CD是AB边上的中线，若BC6，AC8，则ta
∠ACD的值为（）
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fA．
B．
C．
D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线r