上，该点与原点距离的最大值为741，最小值为7－41．二、本题满分25分将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。111解：由1053×5×7；故不超过105而与105互质的正整数有105×1－1－1－48个。357100048×2048－8，105×202100而在不超过105的与105互质的数中第40个数是86．∴所求数为2186。
E
三、本题满分35分如图，设三角形的外接圆O的半径为R内心为I，∠B60∠A∠C∠A的外角平分线交圆O于E．证明1IOAE；22RIOIAIC13R．证明：∵∠B60°，∴∠AOC∠AIC120°．∴A，O，I，C四点共圆．圆心为弧AC的中点F，半径为R．B∴O为⊙F的弧AC中点，设OF延长线交⊙F于H，AI延长线交弧BC于D．由∠EAD90°（内外角平分线）知DE为⊙O的直径．∠OAD∠ODA．E但∠OAI∠OHI，故∠OHI∠ADE，于是RtΔDAE≌RtΔHIO∴AEIO．由ΔACH为正三角形，易证ICIAIH．由OH2R．∴IOIAICIOIHOH2R．O设∠OHIα，则0α30°．I∴IOIAICIOIH2Rsi
αcosα2R2si
α45°又α45°75°，故IOIAIC22R624R13
BCD
A
OIC
A
F
H
四、本题满分35分给定平面上的点集PP1，P2，…，P1994P中任三点均不共线将P中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连不在同一组的两点不连线段这样得到一个图案G，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为mG．1求mG的最小值m0．2设G是使mGm0的一个图案，若G中的线段指以P的点为端点的线段用4种颜色染色每条线段恰好染一种颜色．证明存在一个染色方案使G染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形．解：设G中分成的83个子集的元素个数分别为
i1≤i≤83，
83
Σ
1994．且3≤
≤
≤…≤
．
i1283
83
i1
则mG
ΣC．即求此式的最小值．
3
i
i1
设
k1
k1．即
k1－1≥
k1．则C
i31C

i1
3－1－
32C
C
3C
－C
20．这就是说，当
k1与
kii1ii1
的差大于1时，可用
k1－1及
k1代替
k1及
k，而其余的数不变．此时，mG的值变小．于是可知，只有当各
i的值相差不超过1时，mG才能取得最小值．199483242．故当81组中有24个点，2组中有25个点时，mG达到最小值．m081C242C2581202422300168544．
55
33
f全国高中数学联赛试题（吴仁芳139）⑵取5个点为一小组，按图1染成a、b二色．这样的五个小组，如图2，每个小圆表示一个五点小组．同组间染r