中，a1变式（2006，全国I理22本小题满分12分）设数列a
的前
项的和S

412a
2
1，
123333
32
，证明：Ti，
1232S
i1
（Ⅰ）求首项a1与通项a
；（Ⅱ）设T

解：（I）当
1时，a1S1当
442a1a12；333412412a
2
1a
12
333333
，即

2
时，
a
S
S
1
。a
4a
12
，利用a
1pa
q
（其中p，q均为常数，pqp1q10）
5
f（或a
1pa
rq
其中p，qr均为常数）的方法，解之得：a
4
2
4121Ⅱ将a
4
2
代入①得S
×4
－2
－×2
1×2
1－12
1－233332×2
1－12
－132
32
311T
×
1×
－
1S
22－12
－122－12－1－i1×1－i1Ti2i22－122－12－12－1i1i1

所以
3


1
1
3
1
1
3
类型5递推公式为a
2pa
1qa
（其中p，q均为常数）。解法一待定系数法：先把原递推公式转化为a
2sa
1ta
1sa
其中s，t满足
stpstq
解法二特征根法：对于由递推公式a
2pa
1qa
，a1a2给出的数列a
，方程xpxq0，叫做数列a
的特征方程。若x1x2是特征方程的两个根，当x1x2
2

1
1时，数列a
的通项为a
Ax1，其中A，B由a1a2决定（即把Bx2
1
1代入a
Ax1，得到关于A、B的方程组）；当x1x2时，a1a2x1x2和
12，Bx2
1数列a
的通项为a
AB
x1，其中A，B由a1a2决定（即把a1a2x1x2
1和
12，代入a
AB
x1，得到关于A、B的方程组）。
解法一（待定系数迭加法）数列a
：3a
25a
12a
0
0
N，a1aa2b，求数列a
的通项公式。由3a
25a
12a
0，得
a
2a
1
2a
1a
，3
且a2a1ba。则数列a
1a
是以ba为首项，
2为公比的等比数列，于是3
6
f2a
1a
ba
1。把
123
代入，得3
a2a1ba，
2a3a2ba，32a4a3ba2，32a
a
1ba
2。3
把以上各式相加，得
21
12223a
a1ba1
2ba。23331322r