解：199515×133．故取出所有不是15的倍数的数，共1862个，这此数均符合要求．在所有15的倍数的数中，152的倍数有8个，这此数又可以取出，这样共取出了1870个．即A≥1870．又k，15kk9，10，11，…，133中的两个元素不能同时取出，故A≤199513381870．第二试一、25分给定曲线族22si
θ－cosθ3x2－8si
θcosθ1y0，θ为参数，求该曲线在直线y2x上所截得的弦长的最大值．8si
θcosθ1解：以y2x代入曲线方程得x0，x．2si
θ－cosθ38si
θcosθ1∴所求弦长l2si
θ－cosθ35．故只要求x的最大值即可．由2x－8si
θ－x1cosθ1－3x．2x－82x12≥1－3x2，即x216x－16≤0．247解之得，－8≤x≤2．即x≤8当si
θ±25，cosθ25时即可取得最大值．故得最大弦长为85．二、25分求一切实数p，使得三次方程5x3－5p1x271p－1x166p的三个根均为正整数．解：x1是方程的一个根．于是只要考虑二次方程5x2－5px66p－10的两个根为正整数即可．设此二正整数根为u、v．则由韦达定理知，①uvp1②uv566p－1消去p，得5uv－66uv－1．同乘以5：52uv－5×66u－5×66v－5．∴5u－665v－66662－5435119×229．由于u、v均为整数，故5u－66、5v－66为整数．
55
21211241
f1995年全国高中数学联赛
冯惠愚
－19，－229．∴其中使u、v为正整数的，只有u17，v59这一组值．此时p76．∴三、35分如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP．分析要证MQ∥NP，因AB∥DC，故可以考虑证明∠AMQ∠CPN．现∠A∠C，故可证ΔAMQ∽ΔCPN．于是要证明AM∶AQCP∶CN．证明设∠ABC2，∠BNM2，∠BMN2γ．则1A由ON平分∠ONM，得∠ONC∠ONM2180－HE290－；QM同理，∠OMN∠OMA90－γ．γ2B2Dα而∠CON180－∠OCN－∠ONC90－γ，于是O2βPΔCON∽ΔAMO，N2∴AM∶AOCO∶CN，即AMCNAO．GF2同理，AQCPAO，∴AMCNAQCP．C∴ΔAMQ∽ΔCPN，∴∠AMQ∠CPN．∴MQ∥NP．
－1，19，5u－661，5v－664351，－4351，229，
四、35分将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色．证明：存在这样两个相似的三角形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色．证明：首先证明平面上一定存在三个顶点同色的直角三角形．任取平面上的一条直线l，则直线l上必有两点同色．设此两点为P、Q，lSR不妨设P、Q同着红色．过P、Q作直线l的垂线l1、r