2012中考数学压轴题函数面积问题一
例1
如图1，直线l经过点A1，0，且与双曲线ymx＞0交于点B2，1．过点xmmNPpp1p＞1作x轴的平行线分别交曲线yx＞0和yx＜0于M、两点．xx（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11南通28”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，当直线MN经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；△AMN和△AMP是两个同高的三角形，MN＝4MP存在两种情况．
思路点拨
1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．2．第（3）题把S△AMN＝4S△AMP转化为MN＝4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论．
1
f满分解答
（1）因为点B2，1在双曲线ym上，所以m＝2．设直线l的解析式为ykxb，xkb0k1代入点A1，0和点B2，得1，解得所以直线l的解析式为yx1．2kb1b1（2）由点Ppp1p＞1的坐标可知，P在直线yx1上x轴的上方．点如图2，当y＝2时，点P的坐标为3，2．此时点M的坐标为1，2，点N的坐标为－1，2．由P3，2、M1，2、B2，1三点的位置关系，可知△PMB为等腰直角三角形．由P3，2、N－1，2、A1，0三点的位置关系，可知△PNA为等腰直角三角形．所以△PMB∽△PNA．
图2
图3
图4
（3）△AMN和△AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上．当S△AMN＝4S△AMP时，MN＝4MP．①如图3，M在NP上时，M－xN＝4xP－xM．当x因此224x12．解xxx得x113或x113（此时点P在x轴下方，舍去）．此时p113．222②如图4，当M在NP的延长线上时，xM－xN＝4xM－xP．因此
15222解得或x15（此时点P在x轴下方，舍去）此．x4x1．22xxx
时p15．2
2
f考点伸展
在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）．情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．不存在∠ANM＝90°的情况．
图5
图6
例2
如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、yr