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2012中考数学压轴题函数面积问题二例3
如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为30，01．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y
1xb交折线OAB于点E．2
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10广州25”，拖动点D由C向B运动，观察S随b变化的函数图像，可以体验到，E在OA上时，S随b的增大而增大；E在AB上时，S随b的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点D由C向B运动，可以观察到，E在OA上时，重叠部分的形状是菱形，面积不变．双击按钮“第（2）题”可以切换．
思路点拨
1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长．
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2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积．3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．
满分解答
1①如图2，当E在OA上时，由y2b．此时S＝S△ODE＝OEOC
1xb可知，点E的坐标为2b0，OE＝2
12
12b1b．2
1xb可知，点D的坐标为2b－21321，CD＝2b－2，BD＝5－2b．x＝3代入yxb可知，E的坐标为3b，把点2235AE＝b，BE＝b．此时22
②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入yS＝S矩形OABC－S△OAE－S△BDE－S△OCD＝3
131513bb52b12b222222
5b2b．2
2如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋2－m2＝m2．解得m
55．所以重叠部分菱形DMEN的面积为．44
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图2
图3
图4
考点伸展
把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最r