2012中考数学压轴题函数梯形问题一例1
已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－a＋1x与直线y＝kx的一个公共点为A4，8．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积．
备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“11海淀24”，拖动点P在OA上运动，观察PQ的长随点P变化的跟踪点，可以体验到，当P运动到OA的中点时，PQ的长取得最大值．
答案
（1）抛物线的解析式为y＝x2－2x，直线的解析式为y＝2x．（2）如图1，当P为OA的中点时，PQ的长度取得最大值为4．
f（3）如图2，如果四边形AOMN是梯形，那么点N的坐标为3，3，梯形AOMN的面积为9．
图1
图2
例2
已知二次函数的图象经过A（2，0）、C0，12两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MNx轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．
f图1
图2
动感体验
请打开几何画板文件名“11义乌24”，拖动点M从P向O运动，可以体验到，M在到达PO的中点前，重叠部分是三角形；经过中点以后，重叠部分是梯形．
思路点拨
1．第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况．2．第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO的中点．
满分解答
（1）设抛物线的解析式为yax42k，代入A（2，0）、C0，12两点，得
4ak0a1解得16ak12k4
所以二次函数的解析式为yx424x28x12，顶点P的坐标为（4，－4）．（2）由yx28x12x2x6，知点B的坐标为（6，0）．假设在等腰梯形OPBD，那么DP＝OB＝6．设点D的坐标为x，2x．
f由两点间的距离公式，得x422x4236．解得x如图3，当x＝－2时，四边形ODPB是平行四边形．r