向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分．解法1（向量法）：以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系
Dxyz如图，
D1zA1
C1B1
D
C
y
B
A
x
则有A2，0，，0B2，2，，0C0，2，，0A11，0，，2B111，，，2C10，1，，2D10，0，2．（Ⅰ）证明：∵AC，，，0AC2，2，，0D1B111，，，0DB2，2，0．1111




∴AC2AC，DB2D1B1．11
∴AC与AC11平行，DB与D1B1平行，
BD共面．于是AC11与AC共面，B1D1与
（Ⅱ）证明：DDAC2，2，02，2，00，，0，22，2，00，DB1AC0


∴DD1AC，DBAC．
DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线．
∴AC平面B1BDD1．
f又平面A1ACC1过AC．
∴平面A1ACC1平面B1BDD1．
（Ⅲ）解：AA，0，，2BB11，1，，2CC10，1，2．11设
x1，y1，z1为平面A1ABB1的法向量，




AA1x12z10，
BB1x1y12z10．
于是y10，取z11，则x12，
2，0，1．设mx2，y2，z2为平面B1BCC1的法向量，
mBB1x2y22z20，mCC1y22z20．
2，1．于是x20，取z21，则y22，m0，
cosm，

m
1．m
5
1∴二面角ABB1C的大小为πarccos．5
解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：∵D1D平面A1B1C1D1，D1D平面ABCD．
D1A1
C1B1
∴D1DDA，D1DDC，平面A1B1C1D1∥平面ABCD．
于是C1D1∥CD，D1A1∥DA．A
D
F
M
C
E
O
B
，DC的中点，连结EF，A1E，C1F，设E，F分别为DA
有A，C1F∥D1D，DE1，DF1．1E∥D1D
∴A1E∥C1F，
于是AC11∥EF．由DEDF1，得EF∥AC，故AC11∥AC，AC11与AC共面．过点B1作B1O平面ABCD于点O，则B1O∥A1E，B1O∥C1F，连结OE，OF，
f于是OE∥B1A1，OF∥B1C1，∴OEOF．
∵B1A1A1D1，∴OEAD．∵B1C1C1D1，∴OFCD．
所以点O在BD上，故D1B1与DB共面．（Ⅱ）证明：∵D1D平面ABCD，∴D1DAC，又BDAC（正方形的对角线互相垂直），
D1Dr