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解圆锥曲线问题常用方法(二)
【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法:4、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一,常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题,在解题时要充分
利用代数运算的严密性与几何论证的直观性,尤其是将某些代数式子利用其结构特征,想象为某些图形的几何意义而构图,用图形的性质来说明代数性质。
如“2xy”,令2xyb,则b表示斜率为2的直线在y轴上的截距;如“x2y2”令x2y2d,则d表示点P
(x,y)到原点的距离;又如“y3”,令y3k,则k表示点P(x、y)与点A(2,3)这两点连线的斜率……
x2
x2
5、参数法
(1)点参数利用点在某曲线上设点(常设“主动点”),以此点为参数,依次求出其他相关量,再列式求解。如x轴
上一动点P,常设P(t,0);直线x2y10上一动点P。除设P(x1y1)外,也可直接设P(2y1y1)
(2)斜率为参数
当直线过某一定点Px0y0时,常设此直线为yy0kxx0,即以k为参数,再按命题要求依次列式求解等。
(3)角参数
当研究有关转动的问题时,常设某一个角为参数,尤其是圆与椭圆上的动点问题。
6、代入法
这里所讲的“代入法”,主要是指条件的不同顺序的代入方法,如对于命题:“已知条件P1P2求(或求证)目标Q”,
方法1是将条件P1代入条件P2,方法2可将条件P2代入条件P1,方法3可将目标Q以待定的形式进行假设,代入P1P2
这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度,因此要学会分析,选择简易的代入法。
【典型例题】
例1:已知Pab是直线x2y10上任一点,求Sa2b24a6b13的最小值。
分析:由此根式结构联想到距离公式,
解:Sa22b32设Q23
则SPQ它的最小值即Q到此直线的距离
∴Smi
223135
5
5
点评:此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题(注:可令根式内为t消元后,它是一个一元二次函数)
1
f例2:已知点Pxy是圆x2y26x4y120上一动点,求y的最值。x
解:设O(0,0),则y表示直线OP的斜率,由图可知,当直线OP与圆相切时,y取得最值,设最值为k,则切线:
x
x
ykx即kxy0
圆x32y221由圆心(3,2)到直线kxy0的距离为1得3k21k21
∴k334
∴y33y33
xmi

4xmax
4
例3:直线l:axy20平分双曲线x2y21的斜率为1的弦,求a的取值范围169
分析:由题意,直线l恒过定点P02,平分弦即过弦中点,可先求出弦中点的轨迹,再求轨迹上的点M与点P
的连线的斜率即a的范围r
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