。
解：设Ax1y1Bx2y2是双曲线上的点，且AB的斜率为1，AB的中点为Mx0y0
则：

x1216

y129
1

x22
16

y
22
9
1
①②
①②得
x
21

x22

y
21

y22
0即x0

y0
10
16
9
169
即MX0y0在直线9x16y0上。
由9x16y0
得
C
167

97

D

167

97

x2y21169
∴点M的轨迹方程为9x16y0x167或x167
7
7
2
f29
29
kPD
7016
9216
7kPD
792
016
16
7
7
7
由图知，当动直线
l
的斜率
k∈

9
216
7

916



916

9
216
7时，l过斜率为1的弦AB的中点M，而ka
∴a
的取值范围为：


9
216
7
916



916

2
716
9

点评：此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的，由图得知，弦AB中点轨迹并不是一条直线（9x16y0），
而是这条直线上的两条射线（无端点）。再利用图形中的特殊点（射线的端点C、D）的属性（斜率）说明所求变量a的取值范围。
例4：过y2x上一点A（4，2）作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点。求证：直线BC的斜率是定值。
分析：（1）点A为定点，点B、C为动点，因直线AB、AC的倾斜角互补，所以kAB与kAC相反，故可用“k参数”法，设AB的斜率为k，写出直线AB的方程，将AB的方程与抛物线方程联立，因A为已知交点，则方程有一根已知故用韦达
定理容易解出点B坐标，同理可得点C坐标，再求BC斜率。
（2）因点B、C在抛物线上移动，也可用“点参数”法，设B（x1y1）Cx2y2因x1y12x2y22即可设B（y12y1）Cy22y2。再考虑kABkAC得参数y1y2的关系。解法1：设AB的斜率为k，则AC的斜率为k
AB：y2kx4与y2x联立得：y2ky24即ky2y4k20
∵y2是此方程的一解，
∴2yB
4kk
2
yB

12kk
xByB21
4kk

2
4k
2

∴B1
4kk

2
4k
2
12kk

∵kACk以k
代替
k
代入
B
点坐标得
C1
4kk2
4k2
1
2kk

12k12k

∴kBC
1

4k

k4k
2
k
1为定值
14k4k24

k2
k
3
f解法2：设B（y12y1）Cy22y2，则
kBC
y2y22

y1y12

1y2y1
∵kAB
y12
y
21

4

y1
1
2

k
AB

y22y224

1y22
由题意，kABkAC
∴
1y1
2


y
2
1
2

则y1

y2

4
则：kBC1为定值。4
点评：解法1运算量较大，但其方法是一种基本方法，因k的变化而造成了一系列的变化，最终求出BC的斜率为定
值；解法2利用点B，C在抛物线上设点，形成含两个参数y1y2的问题，用整体思想解题，运算量较小。
例5：在圆x2y24上，有一定点A（2，0）和两动点B，C（A，B，C按逆时针排列），当B，C两点保持∠BAC时，
y
3
求△ABC的重心的轨r