其方向与模值大的向量方向一致
由于平行四边形的对边平行且相等可以这样来作出两向量的和向量
定义2作以的终点为起点作联接图12得
12
该方法称作向量加法的三角形法则
图12
向量加法的三角形法则的实质是
将两向量的首尾相联则一向量的首与另一向量的尾的连线就是两向量的和向量
据向量的加法的定义可以证明向量加法具有下列运算规律
定理1向量的加法满足下面的运算律
1、交换
律122
2、结合律123
证交换律的证明从向量的加法定义即可得证
下证结合律自空间任一点O开始依次作则有
所以
由定理1知对三向量相加不论其先后顺序和结合顺序如何结果总是相同的可以简单的写作
二向量的减法
定义3若则我们把叫做与的差记为
显然
特别地
由三角形法则可看出要从减去只要把与长度相同而方向相反的向量加到向量上去由平行四边形法可如下作出向量设、以与为邻边作一平行四边形则对角线向量
例1设互不共线的三向量、与试证明顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零向量
证必要性设三向量、、可以构成三角形图
13
f图13
那么
即
充分性设作那么所以从而所以、
、可以构成三角形
例2用向量法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形
证设四边形的对角线、交于点且互相平分图14
因此从图可看出
所以∥且即四边形为平行四边形
图14
§13数量乘向量
定义131设是一个数量向量与的乘积是一向量记作其模等于的倍即且方向规定如下当时向量的方向与的方向相同当时向量是零向量当时向量的方向与的方向相反
特别地取则向量的模与的模相等而方向相反由负向量的定义知据向量与数量乘积的定义可导出数乘向量运算符合下列运算规律
定理131数量与向量的乘法满足下面的运算律
11
2结合律131
3分配律
132
4133
证1据定义显然成立
2显然向量、、的方向是一致
且
3分配律如果或中至少有一个为0等式显然成立
反之
f若显然同向且
所以
若不妨设
若则有由可得
所以
对的情形可类似证明
一个常用的结论
定理3若为数量则向量与向量平行记作反之若向量与向量平行且则是数量
设是非零向量用表示与同方向的单位向量
由于与同方向从而与亦同方向而且
即
我们规定若于是
这表明一个非零向量除以它的模是一个与原向量同方向的单位向量
请注意向量之间并没有定义除法运算因此决不能将式子改写成形式
十分显然这种错误是受实数运算法则的“惯性作用”所造成
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