解析几何中的最值问题
一、教学目标解析几何中的最值问题以直线或圆锥曲线作为背景，以函数和不等式等知识作为工具，具有较强的综合性，这类问题的解决没有固定的模式，其解法一般灵活多样，且对于解题者有着相当高的能力要求，正基于此，这类问题近年来成为了数学高考中的难关。基本内容：有关距离的最值，角的最值，面积的最值。二、教学重点方法的灵活应用。三、教学程序1、基础知识探求解析几何最值的方法有以下几种1函数法（设法将一个较复杂的最值问题，通过引入适当的变量能归为某初等函数（常见）的有二次函数和三角函数）的最值问题，然后通过对该函数单调性和最值的考察使问题得以解决。2不等式法：（常用的不等式法主要有基本不等式等）3曲线定义法：利用圆锥曲线的定义刻画了动点与动点（或定直线）距离之间的不变关系，一般来说涉及焦半径、焦点弦的最值问题可以考虑该方法（4）平面几何法：有些最值问题具有相应的几何意义（如分式最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式等等）
（1）函数法
例1、已知P点在圆x2y421上移动，Q点在椭圆x2y21上移动试求
9
PQ的最大值。分析：两个都是动点，看不出究竟，P、Q在什么位置时PQ最大故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时PQ最大，因此要求PQ
的最大值，只要求OQ的最大值。说明：函数法其我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函
数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不易忽视。
例2在平面直角坐标系xOy中，点Pxy是椭圆x2y21上的一个动点，
3
求Sxy的最大值
（2）不等式法
f例
2、
设F1F2是椭圆
x24

y2
1的两个焦点，
P
是这个椭圆上任一点，
则PF1PF2的最大值是
解：PF1PF24
由PF1PF22PF1PF2得
PF1PF2
PF1
PF224
4
即PF1PF2的最大值是4。
说明：在用基本不等式时要注意条件“一正二定三相等”须同时具备，缺一不可
3曲线定义法：
例3、给定点A22，已知B是椭圆x2y21上的动点，F是右焦点，当2516
AB5BF取得最小值时，试求B点的坐标。3
分析：因为椭圆的离心率e3，所以AB5BFAB1BF，而1BF为
5
3
e
e
动点B到左准线的距离。故本题转法为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左
准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，
垂点为M，由椭圆定义
BFeBNBF5BF
BN
e3
于是AB5BFABBNANAM为定值3
其中，当且仅当Br