《解析几何》教案
第一章向量与坐标
本章教学目的通过本章学习使学生掌握向量及其运算的概念熟练掌握线性运算和非线性运算的基本性质、运算规律和分量表示会利用向量及其运算建立空间坐标系和解决某些几何问题为以下各章利用代数方法研究空间图形的性质打下基础
本章教学重点1向量的基本概念和向量间关系的各种刻划。2向量的线性运算、积运算的定义、运算规律及分量表示
本章教学难点1向量及其运算与空间坐标系的联系2向量的数量积与向量积的区别与联系
3向量及其运算在平面、立体几何中的应用
本章教学内容
§11向量的基本概念
一、定义既有大小又有方向的量称为向量如力、速度、位移等
二、表示在几何上用带箭头的线段表示向量箭头表示向量的方向线段长度代表向量的大小向量的大小又叫向量的模长度
始点为A终点为B的向量记作其模记做
注为方便起见今后除少数情形用向量的始、终点字母标记向量外我们一般用小写黑体字母a、b、c……标记向量而用希腊字母λ、μ、ν……标记数量
三、两种特殊向量
1、零向量模等于0的向量为零向量简称零向量以0记之
注零向量是唯一方向不定的向量
2、单位向量模等于1的向量称为单位向量特别地与非0向量同向的单位向量称为的单位向量
记作
四、向量间的几种特殊关系
1、平行共线向量a平行于向量b意即a所在直线平行于b所在直线记作a∥b规定零向量平行于任何向量
2、相等向量a等于向量b意即a与b同向且模相等记作ab
注二向量相等与否仅取决于它们的模与方向而与其位置无关这种与位置无关的向量称为自由向量我们以后提到的向量都是指自由向量
3、反向量与向量a模相等但方向相反的向量称为a的反向量记作a显然
零向量的反向量还是其自身
4、共面向量平行于同一平面的一组向量称为共面向量易见任两个向量总是共面的三向量中若有两向量共线则三向量一定共面零向量与任何共面向量组共面
注意应把向量与数量严格区别开来
①向量不能比较大小如没有意义②向量没有运算如类似的式子没有意义
§12向量的加法
一向量的加法
定义1设、以与为邻边作一平行四边形取对角线向量记如图11称为与之和并记作
图11
这种用平行四边形的对角线向量来规定两个向量之和的方法称作向量加法的平行四边形法则
f如果向量与向量在同一直线上那么规定它们的和是这样一个向量
若与的指向相同时和向量的方向与原来两向量相同其模等于两向量的模之和
若与的指向相反时和向量的模等于两向量的模之差的绝对值r