成立，a1＋1∴a
＋1＝2
，即a
＝2
－1
∈N．2证明∵a
＝2
－1，

∴b
＝
1＝
1＝
，
2＋＋2－1－2－12－2123
∴T
＝＋2＋3＋…＋
，2222
－1112
T＝＋＋…＋
＋
1，2
222322＋1111
∴两式相减，得T
＝2＋2＋3＋…＋
－
122222＋1
＝2－
1－
22－2
f思维升华错位相减法求数列的前
项和是一种重要的方法．在应用这种方法时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题．设数列a
满足a1＝2，a
＋1－a
＝322
1
－
1求数列a
的通项公式；2令b
＝
a
，求数列b
的前
项和S
解1由已知得，当
≥1时，a
＋1＝a
＋1－a
＋a
－a
－1＋…＋a2－a1＋a1＝322
－1＋22
－3＋…＋2＋2＝22
＋1－1而a1＝2，符合上式，所以数列a
的通项公式为a
＝22
－12由b
＝
a
＝
22
－1知S
＝12＋223＋325＋…＋
22
－1①从而22S
＝123＋225＋327＋…＋
22
＋1②①－②，得1－22S
＝2＋23＋25＋…＋22
－1－
22
＋1，1即S
＝3
－122
＋1＋2．9热点三裂项相消法求和例3已知等差数列a
，公差d0，前
项和为S
，S3＝6，且满足a3－a12a2，a8成等比数列．1求a
的通项公式；12设b
＝，求数列b
的前
项和T
的值．a
a
＋2思维启迪1利用方程思想可确定a，d，写出a
；2利用裂项相消法求T
解1由S3＝6，得a2＝2∵a3－a12a2，a8成等比数列，∴2d2＋6d＝42，4解得d＝1或d＝－，3∵d0，∴d＝1∴数列a
的通项公式为a
＝
11112T
＝＋＋＋…＋132435
＋2
f1111111111＝1－＋－＋－＋－＋…＋－23243445
＋23
2＋5
1311＝－－＝22
＋1
＋24
＋1
＋21思维升华裂项相消法适合于形如形式的数列，其中a
为等差数列．a
a
＋k已知等差数列a
是递增数列，且满足a4a7＝15，a3＋a8＝81求数列a
的通项公式；112令b
＝
≥2，b1＝，求数列b
的前
项和S
39a
－1a
解1根据题意a3＋a8＝8＝a4＋a7，a4a7＝15，所以a4，a7是方程x2－8x＋15＝0的两根，且a4a7，解得a4＝3，a7＝5设数列a
的公差为d，2由a7＝a4＋7－4d，得d＝3故等差数列a
的通项公式为22
＋1a
＝a4＋
－4d＝3＋
－4＝331111112当
≥2时，b
＝＝＝＝－，29a
－1a
2
－12
＋12
－12
＋12
－12
＋1933111又b1＝＝1－，32311111111
所以S
＝b1＋b2＋…＋b
＝1－＋－＋…＋－＝1－＝2335r