在点M（11）定积分I

π
2
a处的曲率为___
∫

π
0
xsi
xdx
I∫dy∫
0
2x

为正整数）的值为
y2y2
x
（12）交换积分次序
x
1
fxydx____________
x
（13）已知y1xee，y2xee
，y3xee
x
2x
ex是某二阶线性非齐次微分方程的三
个解，则此微分方程为__________（14）设A为三阶实对称矩阵，α1aa1是Ax0的解，α2a1a是AEx0的
TT
解，则常数a________三、解答题：1523小题，共94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答题：（15）（本题满分10分）
2
f证明：方程e的区间上

x2
xx23在∞∞内有且仅有3个实根，并指出它们各分布在哪几个互不相交


（16）（本题满分11分）已知lim
x→0
si
6xfxta
x6fx0，求lim3x→0xx2
（17）（本题满分10分）设fxgx在x0的某邻域内具有二阶连续导数，曲线yfx和ygx具有相同凹凸性证明曲线yfx和ygx在点x0y0处相交，相切且有相同的曲率圆（曲率不为零）的充要
3
f条件是当x→x0时，fxgx是比xx0高阶的无穷小。
2
（18）（本题满分10分）已知函数zfxy有二阶连续偏导数，且fxxy≠0，

2z2z2z220，又设xyx2y
xxyz是由zfxy确定的函数，求
2x2x2x22yzy2z
（19）（本题满分11分）设fx单调增加，存在连续导数，f00，fab，gx与fx互为反函数证明：
∫
a
0
fxdx∫gxdxab
0
b
4
f（20）（本题满分10分）设函数
ft在0∞上连续，且满足方程fte4πt
2
∫∫
x2y2≤4t2
12fxy2dxdy2
求
ft。
（21）（本题满分10分）设函数fx在1∞上连续。若由曲线yfx，直线x1xtt1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为程，并求该微分方程满足条件y
x2
Vt
π
3
t2ftf1试求yfx所满足的微分方

2的解。9
5
f（22）（本题满分11分）设α1α2α3α4β为四维列向量，Aα1α2α3α4。已知Axβ的通解为
1111112121xk1k2，其中为对应齐次线性方程组Ax0的基础解系，201011101r