：极限的定义一、在x0点的极限1）x0可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f在x0有没有定义，以及函数值fx0的大小。只要满足：存在某个ρ0使：x0ρx0∪x0x0ρD。2）如果自变量x趋于x0时，相应的函数值fx有一个总趋势以某个实数A为极限，则记为：limfxA。
x→x0
形式定义为：
ε0，δ0，当0xx0δ时，fxAε恒成立。
强调：limf（x）是否存在与f（x）在x0点是否有定义无关
x→x0x→x0
记住：limxx0，limcc
x→x0
左极限与右极限重点强调：limf（x）A，f（x）Alim
x→x0x→x0
结论：limf（x）存在且等于Alimf（x）limf（x）A
x→x0x→x0x→x0
二、x→∞的极限设yfx
x∈∞∞，如果当时函数值fx有一个总趋势该曲线有一条水
x→∞
平渐近线yA则称函数在无限远点∞有极限。记为：limfxA。在无穷远点∞的左右极限：
5
ff∞limfx
x→∞
，
f∞limfx
x→∞
关系为：x→∞
limfxAlimfxAlimfx
x→∞x→∞
例1讨论函数y例2
xx
在x→0的极限。
求下面函数极限：
2
lim2
1，
→∞
x→1
lim
133。x1x1
三、函数极限的性质定理1（函数极限的唯一性）如果limfx存在，则这个极限唯一。
x→x0
定理2（函数极限的局部有界性）如果limfx存在，那么存在常数M0和δ0，使得当时0xx0δ时，有
x→x0
fx≤M。
定理3函数极限的局部保号性
若limfxA且A0或A0则存在常数δ0，使得当0xx0δ时
x→x0
fx0或fx0。
定理3若limfxA≠0，存在x0的某一去心邻域Ux0δ当x∈Ux0δ时，则
x→x0
oo
就有fx
A2
。
0
推论若limfxA且δ0当x∈Ux0δ时，fx≥0或fx≤0
x→x0
A≥0或A≤0
例1证明limsi
x→0
1不存在。x
证：取x

1
π
limx
0且x
≠0
→∞
1′′′取x
limx
0且x
≠0
→∞4
1π2
6
f而limsi

→∞
114
1limsi
π0，limsi
limsi
π
→∞′x
→∞x
→∞2
x→0
二者不相等故limsi

1不存在。x
第三节无穷小量与无穷大量
教学目的与要求：教学目的与要求：掌握无穷小与无穷大概念。教学重点（难点）：理解无穷小与无穷大的关系。教学重点（难点）：一、无穷小定义定义对一个数r