册（预赛试题集锦）》
加
一、（本题满分50分）
试
如图，给定凸四边形ABCD，BD180，P是平面上的动点，令fPPABCPDCAPCAB．（1）求证：当fP达到最小值时，P、A、B、C四点共圆；
AE3（2）设E是ABC外接圆O的上一点，满足：，ABAB2
答一图1BC131，ECBECA，又DADC是O的切线，AC2，求fP的最小值．EC2
二、（本题满分50分）设fx是周期函数，T和1是fx的周期且0T1．证明：（1）若T为有理数，则存在素数p，使
1是fx的周期；p
（2）若T为无理数，则存在各项均为无理数的数列a
满足1a
a
10

12且每个a
，
三、（本题满分50分）

12都是fx的周期．
设ak0，k122008．证明：当且仅当ak1时，存在数列x
满足以下条件：
k1
2008
（1）0x0x
x
1，
123；（2）limx
存在；

（3）x
x
1akx
kak1x
k，
123．
k1k0
2008
2007
解
意点P，有PABCPCABPBAC．因此
答
一、方法一：（1）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任
fPPABCPCABPDCAPBCAPDCAPBPDCA．
因为上面不等式当且仅当P、A、B、C顺次共圆时取等号，因此当且仅当P在ABC的外接圆且在AC上时，
第1题图
1
f声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》
fPPBPDCA．又因PBPDBD，此不等式当且仅当BPD共线且P在BD
上时取等号．因此当且仅当P为ABC的外接圆与BD的交点时，fP取最小值
fPmi
ACBD．故当fP达最小值时，P、A、B、C四点共圆．
（2）记ECB，则ECA2，由正弦定理有
AEsi
23，从而ABsi
32
3si
32si
2，即33si
4si
34si
cos，所以
33431cos24cos0，整理得43cos24cos30，
解得cos
31或cos（舍去）故30，ACE60．，223
由已知
si
EAC30BC有si
EAC3031si
EAC，即31ECsi
EAC31231si
EACcosEAC31si
EAC，整理得si
EACcosEAC，22221故ta
EAC23，可得r