：GF
xx
yy
zz


00

则
切向
量T


FyGy
FzFzGzGz
FxFxGxGx
FyGy
曲1、面过F此x点y的z法向0上量一：点
MFxx0
y0z0x0y0
，则：z0Fyx0

y0

z0

Fz

x0

y0

z0

2、过此点的切平面方程：Fxx0y0z0xx0Fyx0y0z0yy0Fzx0y0z0zz00
3、过此点的法线方程：xx0yy0zz0Fxx0y0z0Fyx0y0z0Fzx0y0z0
方向导数与梯度：
f函数zfxy在一点pxy沿任一方向l的方向导数为：ffcosfsi

lx
y
其中为x轴到方向l的转角。
函数z
fxy在一点pxy的梯度：gradfxyf
i

f
j
xy
它与方向导数的关系是：f

grad
f

x
y

e，其中e

c
os

i

si



j，为l方向上的
l
单位向量。
f是gradfxy在l上的投影。l
多元函数的极值及其求法：
设fxx0y0fyx0y00，令：fxxx0y0A　fxyx0y0B　fyyx0y0C
AC则：AC

B2B2

0时
，AA

00

x0x0

y0y0
为极大值为极小值
0时，　　　　　　无极值
ACB20时　　　　　　　不确定

重积分及其应用：
fxydxdyfrcosrsi
rdrd
D
D
曲面zfxy的面积A
D
1

zx
2


zy
2
dxdy
平面薄片的重心：x

Mx

xxyd
D
　　y

My

yxyd
D
Mxyd
Mxyd
D
D
平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2xyd　　对于y轴Iyx2xyd
D
D
平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M00aa0的引力：FFxFyFz，其中：
Fxf
xyxd3，　　Fyf
xyyd3，　　Fzfa
xyxd
3
Dx2y2a22
Dx2y2a22
Dx2y2a22
柱面坐标和球面坐标：
fxrcos
柱面坐标：yrsi
　　　fxyzdxdydzFrzrdrddz
zz


其中：Frzfrcosrsi
z
xrsi
cos球面坐标：yrsi
si
，　　dvrdrsi
ddrr2si
drdd
zrcos
2r
fxyzdxdydzFrr2si
drddddFrr2si
dr


00
0
重心：x

1M

xdv　　y

1M

ydv　　z

1M

zdv，　　其中M

x


dv
转动惯量：Ixy2z2dv，　　Iyx2z2dv，　　Izx2y2dv



曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
设f
x
y在L上连续，L的参数方程为：yx

t
t
　　

t


则：
L

fxyds

ftt

2
t

2
t
dt　　


　　特殊情况：y
x
tt
f第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：
设L的参数方程为
xy


t，则：t

PxydxQxydyPtttQtttdt
L

两类曲线积分之间的关系：PdxQdyPcosQcosds，其中和分别为
L
L
L上积分起止点处切向量的方向r