13．32等边三角形
第1课时等边三角形的性质与判定
1．掌握等边三角形的定义、性质和判定，明确其与等腰三角形的区别和联系．重点2．能应用等边三角形的知识进行简单的计算和证明．难点
一、情境导入观察下面图形：
师：等腰三角形中有一种特殊的三角形，你知道是什么三角形吗？生：等边三角形．师：对，等边三角形具有和谐的对称美．今天我们学习等边三角形，引出课题．
二、合作探究探究点一：等边三角形的性质【类型一】利用等边三角形的性质求角度
如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解析：因为△ABC三个内角为60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC的度数，因为BE＝DE，所以得到∠EBC＝∠D，求出∠D的度数，利用外角性质即可求出∠CED的度数．
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f解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握．
【类型二】利用等边三角形的性质证明线段相等
如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：BM＝EM
解析：要证BM＝EM，根据等腰三角形的性质可知，证明△BDE为等腰三角形即可．证明：连接BD，∵在等边△ABC中，D是AC的中点，∴∠DBC＝12∠ABC＝12×60°＝30°，∠ACB＝60°∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°，∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形．又∵DM⊥BC，∴BM＝EM方法总结：本题综合考查了等腰和等边三角形的性质，其中“三线合一”的性质是证明线段相等、角相等和线段垂直关系的重要方法．
【类型三】等边三角形的性质与全等三角形的综合运用
△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？
解析：先根据已知条件利用SAS判定△ABM≌△BCN，再根据全等三角形的性质求得∠BQM＝∠ABC＝60°
解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC在△AMB和
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fAB＝BC，△BNC中，∵∠ABC＝∠C，∴△AMB≌△BNCSAS，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BABMM＝＝∠CNA，BQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°
方法总结：等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质探究三角形全等．
探究点二：等边三角形的判定【类型一r