】等边三角形的判定
等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
解析：先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．
解：△APQ为A等B＝边A三C角，形．证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC在△ABP与△ACQ中，∵∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQSAS，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ∵∠BAC＝B∠P＝BACPQ＋，∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ
是等边三角形．方法总结：判定一个三角形是等边三角形有两种方法：一是证明三角形三个内角相等；
二是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°
【类型二】等边三角形的性质和判定的综合运用图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
1如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；2如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
解析：1由等边三角形的性质可以得出△ACN，△MCB两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段AN与线段BM相等．2先求∠MCN＝60°，通过证明
3
f△ACE≌△MCF得出CE＝CF，根据等边三角形的判定得出△CEF的形状．
解：1AN＝BM理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，
∠ACAMC＝＝M∠CB，CN＝60°∴∠MCN＝60°，∠ACN＝∠MCB在△ACN和△MCB中，
∵∠ACN＝∠MCB，∴△ACN≌△MCBSAS．∴AN＝BM
N2C＝△BCCE，F是等∠边C三AE角＝形∠．C证M明F，：∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB在△ACE
和△MCF中，∵AC＝MC，
∴△ACE≌△MCFASA，∴CE＝CF∴△CEF是
等边三角形．∠ACE＝∠FCM，
方法总结：等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件．
三、板书设计等边三角形的性质和判定
1．等边三角形的定义；2．等边三角形的性质；3．等边三角形的判定方法．
本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形．学习等边三角形的定义、性质和判定．让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步发展空间观念，锻炼思维能力．让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新意识．在这节课中，要学生充分的自主探究，尝试提出问题和解决问题，发展学生的自主探究能r