13．12线段的垂直平分线的性质
第1课时线段的垂直平分线的性质和判定
1．掌握线段垂直平分线的性质．重点2．探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的问题．难点
一、情境导入
如图所示，有一块三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，你能帮测量人员计算BC的长吗？
二、合作探究探究点一：线段垂直平分线的性质【类型一】应用线段垂直平分线的性质求线段的长
如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为
A．5cmB．10cmC．15cmD．175cm解析：∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15cm故选C
1
f方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
【类型二】线段垂直平分线的性质与全等三角形的综合运用
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F
求证：1FC＝AD；2AB＝BC＋AD解析：1根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．2根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．证明：1∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF∵E是CD的中点，∴DE＝EC又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD2∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．
【类型三】线段垂直平分线与角平分线的综合运用如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O
1找出图中相等的线段；2OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．解析：1由垂直平分线的性质可得出相等的线段；
2
f2由条件可证明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF
解：1∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AACD＝＝ABDD，；2OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵OC＝OD，∴△AOC≌△AODSSS，∴∠CAO＝∠DAO又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OAEO＝＝OAFO，
方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．
探究点二：线段垂直平分线的判定
如图r