的扭转应力在圆管横截面上的各点处,仅存在垂直于半径方向的切应力,而且它们沿圆周大小不
变;管壁很薄,近似认为切应力沿壁厚方向(半径方向)均匀分布。
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f第3章扭转
班书昊
精确分析表明:当tR010时,上式具有足够的精度,误差不超过453,此时,
可以采用该式计算应力。由于剪应力均布的假定对所有匀质材料制成的薄壁圆管均成立,故公式49对于弹
性、非弹性;大变形、小变形、各向同性、各向异性均成立。
T
20
R02d
2R02
T2R02δ
3
2切应力互等定理
3切应变剪切胡克定律
G
G
E21μ
4
各向同性材料只有两个相互独立的弹性常数;钢的剪切模量G7580GPa,铝(铝合金)的剪切模量约为G2630GPa。
4剪切应变能
v
12
22G
§34圆轴扭转横截面上的应力
1扭转切应力的一般公式
变形后,横截面保持平面,其形状、大小和间距不变,且半径为直线。显然,根据本假定可知:圆轴纵向没有变形,因此,横截面没有正应力。横截面变形为横截面间相对转动一角度,其变形为垂直半径剪切转动,即横截面内存在垂直半径的剪切应变。
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f第3章扭转
(1)几何方面
外部现象各圆周线形状不变,仅绕轴线作相对转动;小变形时,各圆周线的大小与间距均不改变;小变形时,纵线转动一角度。可以设想圆轴由许多薄壁圆管组成,相邻管变形协调。内部变形假定根据所观测外部现象,对内部变形作如下假设:平面假设:横截面绕轴
线作刚性转动。横截面仍保持为平面,其形状和大小均不改变,半径仍为直线各截面之间间距保持不变。
(2)物理方面
Gddx
为横截面
上任一点到轴线的距离,为
该点的剪应力。上式表明:扭转
剪应力随线性变化(如图示)
0的点,即原点处剪应力为
0,轴边缘剪应力最大,半径为
圆圈上剪应力相同;剪应力垂直
半径。
dG,
dx
常数,
沿半径线性变化,半
径
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(3)静力学方面
由于横截面各点剪应力的合力构成其内力。即剪应力的合力偶等于扭矩。
dAT
A
将物理方程代入上式,即将式c代入
G
ddx
A
2dA
T
dT
dxGIp
Ip2dA
极惯性矩
TIp
式中Ip2dA是一个纯几何量,称为截面的极惯性矩,由此式可以看出:Ip是与材料
A
力学性能无关的几何性质参数,只与截面几何尺寸有关。教材294给出了实心圆轴的即惯
性矩Ip
d432
,空心圆轴Ip
32
D4d4
。应该指出的是:采用空心圆轴
能更充分地利用材料。
2最大扭转切应力
max
TWp
max
u
18
f第3r