础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海yP里A处，如图现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线
y
1249
x；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救
2
援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为（1）当t05时，写出失事船所在位置P的纵坐标若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；分）（6（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）解（1）t05时，P的横坐标xP7t中，得P的纵坐标yP3由AP
9492
72
OA
x
2
x
，代入抛物线方程y
1249
……2分……4分
，得救援船速度的大小为949海里时
72
由ta
∠OAP312
730
7，得∠OAParcta
30，故救援船速度的方向
7为北偏东arcta
30弧度
……6分
2
（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为7t12t由vt因为t
2
2
7t12t12，整理得v144t
222
2
2
1t
2
337……10分
1t
2
2，当且仅当t1时等号成立，
2
所以v144233725，即v25因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C12xy1
22
……14分
（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；分）（4（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆xy1相切，求证：OP⊥OQ；分）（6
22
（3）设椭圆C24xy1若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值（6分）
22
解（1）双曲线C1
x
2
12
y1，左顶点A
2
22
0，渐近线方程：y
2x
22
2x
2x1
过点A与渐近线y解方程组
2x平行的直线方程为y
，y即
y2xy2x1
，得
xy
12
24

……2分
第9页
f所以所求三角形的面积1为S故
b2
12
OAy
28

……4分……6分
（2）设直线PQ的方程是yxb因直线与已知圆相切，
1，即b2
2
由
yxb2xy1
22
，得x2bxb10
22
设Px1y1、Qx2y2，则又2，所以
x1x22bx1x2b1
2
（lbylfx）
OPOQr