的旋转
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fb
体的体积：Vy
2xfxdx
a
三弧长
（柱壳法）
1直角坐标：sb1fx2dxa
2参数方程：st2t2dt
极坐标：s22d
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f第七章微分方程
一．概念
1微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数2解：使微分方程成为恒等式的函数通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同特解：确定了通解中的任意常数后得到的解
1变量可分离的方程
gydyfxdx，两边积分gydyfxdx
2齐次型方程
dydx



yx

，设
u

yx
，则
dydx
u
x
dudx
；
或
dxdy



xy

，设
v

xy
，则
dxdy

v
y
dvdy
3一阶线性微分方程
dyPxyQxdx
用常数变易法或用公式：
y


e

Pxdx

Q
xe

P
x

dx
dx

C

4可降阶的高阶微分方程
1、y
fx，两边积分
次；
2、yfxy（不显含有y），令yp，则yp；
3、
y
fyy（不显含有x），令
y
p，则y
p
dpdy
（一）线性微分方程解的结构
1、y1y2是齐次线性方程的解，则C1y1C2y2也是；
2、y1y2是齐次线性方程的线性无关的特解，则C1y1C2y2是方程的
通解；
3、yC1y1C2y2y为非齐次方程的通解，其中y1y2为对应齐
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f次方程的线性无关的解，y非齐次方程的特解
（二）常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性方程：ypyqy0
特征方程：r2prq0，特征根：r1r2
特征根
通解
实根
yC1er1xC2er2x
r1

r2


p2
yC1C2xer1x
r12iyexC1cosxC2si
x
（三）常系数非齐次线性微分方程
ypyqyfx
1、fxexPmx
0λ不是特征根
设特解yxkexQmx，其中
k1
λ是一个单根
2λ是重根
2、fxexPlxcosxP
xsi
x
设特解yxkexRm1xcosxRm2xsi
x，
其中
mmaxl


，
k

0
i不是特征根
1i是特征根
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