第一章函数与极限
一函数的概念
1两个无穷小的比较设limfx0limgx0且limfxl
gx
（1）l0，称fx是比gx高阶的无穷小，记以fx0gx，称gx是比fx低阶的无穷小。（2）l≠0，称fx与gx是同阶无穷小。（3）l1，称fx与gx是等价无穷小，记以fxgx
2常见的等价无穷小当x→0时
si
xx，ta
xx，arcsi
xx，arccosxx，
1cosxx22，ex1x，l
1xx，1x1x
二．求极限的方法
1．两个准则准则1单调有界数列极限一定存在准则2（夹逼定理）设gx≤fx≤hx
若limgxAlimhxA，则limfxA
2．两个重要公式公式1limsi
x1
x0x
公式2lim1x1xex0
3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次
ex1xx2x3x
ox

23


si
xxx3x51
x2
1ox2
1
35
2
1
cosx1x2x41
x2
ox2

24
2

1
fl
1xxx2x31
1x
ox

23


1x1x1x21
1x
ox

2


arcta
xxx3x51
1x2
1ox2
1
35
2
1
5．洛必达法则
定理1设函数fx、Fx满足下列条件：
（1）limfx0，limFx0；
xx0
xx0
（2）fx与Fx在x0的某一去心邻域内可导，且Fx0；
（3）limfx存在（或为无穷大），则limfxlimfx
xx0Fx
xx0Fxxx0Fx
这个定理说明：当limfx存在时，limfx也存在且等于limfx；当
xx0Fx
xx0Fx
xx0Fx
limfx为无穷大时，limfx也是无穷大．
xx0Fx
xx0Fx
这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值
的方法称为洛必达（LHospital）法则
型未定式
定理2设函数fx、Fx满足下列条件：
（1）limfx，limFx；
xx0
xx0
（2）fx与Fx在x0的某一去心邻域内可导，且Fx0；
（3）limfx存在（或为无穷大），则xx0Fx
fx
fx
lim
lim
xx0Fxxx0Fx
注：上述关于
x

x0
时未定式

型的洛必达法则，对于
x


时未定式

型
同样适用．
使用洛必达法则时必须注意以下几点：
（1）洛必达法则只能适用于“0”和“”型的未定式，其它的未定式须
0

先化简变形成“0”或“”型才能运用该法则；
0

（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；
（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不
能断定原极限不存在．
6．利用导数定义求极限
基本公式limx0
f
x0
xx
f
x0

f
x0如果存在）
7利用定积分定义求极限
2
f基本格式lim1
r