fx的定义域为D,则“fxA”的充要条件是“fab”;②函数fxB的充要条件是fx有最大值和最小值;③若函数fx,gx的定义域相同,且fx,gAxB,则fxgxB
④若函数
xfxal
x222,aR)有最大值,则fx(xB。x1
其中的真命题有__________________(写出所有真命题的序号)【知识点】命题的真假判断与应用;充要条件;函数的值域.【答案解析】①③④解析:解:(1)对于命题①“fx”即函数fx值域为R,A
bR,aD,fa“b”表示的是函数可以在R中任意取值,
f故有:设函数fx的定义域为D,则“fx”的充要条件是“bR,aD,A
fab”∴命题①是真命题;
(2)对于命题②若函数fxB,即存在一个正数M,使得函数fx的值域包含于区间MM.∴M≤fx≤M.例如:函数fx满足2<fx<5,则有5≤fx≤5,此时,fx无最大值,无最小值.∴命题②“函数fxB的充要条件是fx有最大值和最小值.”是假命题;(3)对于命题③若函数fx,gx的定义域相同,且fx∈A,gx∈B,则fx值域为R,fx∈(∞,∞),并且存在一个正数M,使得M≤g(x)≤M.∴fxgx∈R.则fxgxB.∴命题③是真命题.(4)对于命
题④∵函数
xfxal
x22(x>2,a∈R)有最大值,x1
x→0,l
x2→∞,∴al
x2→∞,则fxx1
2
∴假设a>0,当x→∞时,→∞.与题意不符;假设a<0,当x→2时,
x2→,l
x2→∞,∴al
x2→∞,则fxx15
2
→∞.与题意不符.∴a0.
x(x>2)x111当x>0时,x≥2,∴01xxx
即函数fx
2
11,即0<fx≤;22
当x0时,fx0;当x<0时,x
11≤2,∴≤x2
1x1x
<0,即
1≤fx<0.2
∴
11≤fx≤.即fxB.故命题④是真命题.22
故答案为①③④.【思路点拨】根据题中的新定义,结合函数值域的概念,可判断出命题①②③是否正确,再利用导数研究命题④中函数的值域,可得到其真假情况,从而r