均匀分布，求
（1）XY的联合概率密度pxy；（2）XY的边际概率密度pXxpYy
1解：1fxybadc
axbcyd
0
其他
f∞
1
2
pXx
∞pxydy

ba0
axb其他
∞
1
pYy
∞pxydx
dc0
cyd其他
x
y
例1设二维随机变量XY的分布函数FxyABarcta
2Carcta
3。试求：1常数ABC；2XY
的概率密度。解：由分布函数性质，得到F∞∞AB2C2Fx∞ABarcta
x2C20
F∞yAB2Carcta
3y0
解得
1A2
BC2即Fxy122arcta
x22arcta
y3。
2
fxy

2Fxyxy

62x29y24

例2设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间03上的均匀分布，求PmaxXY1。
解：PmaxXY1PX1且Y1，因为X与Y相互独立，所以
111
111
PX1且Y1PX1PY1339。（这里PX103dx3）
例3设二维随机变量XY的概率密度为fxy10，，
0x1，0y2x其它
求：1XY的边缘概率密度fXxfYy；2Z2XY的概率密度fZz。
∞
0x12x
解：1fXx∞fxydy11dy2x
所以边缘概率密度fXx20x
0x1其它
∞
0y21
1
fYy∞fxydxy21dx12y
所以边缘概率密度fYy
10y2
0y2其它
0z21
12xz
1
z2
2FZzP2xyzfxydxdy2xyz
1D11dxdy1z2dx01dy1z22xzdxz4
0得到FZzzz24
1
z00z2z2
，所以Z的概率密度
fZzFZz
10z2
0z2其它
4设随机变量X和Y具有联合概率密度
4fxy0
x2y其它

x
；求边缘概率密度
fxx
fyy
及fY
X
yx
例4设二维随机变量XY的概率密度为
fxyx20cxy
0x10y2其他
求1常数C2PXY13联合分布函数Fxy
解：1由的概率密度性质得到
1∞∞∞∞fxydxdy1020x2cxydxdy32cc13
2
PXY1xy1fxydxdyDfxydxdy
10dx12xx2x3ydy1065x343x212xdx

6572
3当x0或y0时，
xy
Fxy∞∞puvdudv0
当0x10y2时，
fFxy∞x∞ypuvdudvx0y0u2u3vdudvx33yx122y2
当0x1y2时，Fxy∞x∞ypuvdudvx020u2u3vdudv23x3x32
当x10y2时，Fxy∞x∞ypuvdudv10y0u2u3vdudvy31y22
当x1y2时，
xy
Fxy∞∞puvdudv1
综上所述
0
x3yx2y2
312
Fxy
2x3x233
x0或y00x1及0y20x1及y2
yy2
3121
x1及0y2x1及y2
独立性：
若FxyFxFyr