函数y3cos2xsi
xcosx的最大值为（AAAA）
A．132
B．31
C．132
D．31
分析：si
xcos12si
xcosx1si
2x，再想办法把cos2x变成含cso2x的式子：
2
2
cos2x2cos2x1cos2xcos2x12
于是：y3cos2x11si
2x
2
2
3cos2x31si
2x
2
22
3cos2x1si
2x3
2
2
2
由于这里：a3b1则a2b232121
22
2
2
∴y13cos2x1si
2x3
2
2
2
3
设：si
Aa23则cosA1
a2b212
2
∴ysi
Acos2xcosAsi
2x32
si
A2x32
无论A2x取何值，都有1≤si
A2x≤1，故13≤y≤13
2
2
∴y的最大值为13，即答案选A。2
例2（96年全国成人高考理工科数学试卷）
在△ABC中，已知：AB2，BC1，CA3，分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F，使△DEF为正三角形，记∠FEC∠α，问：si
α取何值时，△EFD的边长最短？并求此最短边长。
5
f分析：首先，由于BC2CA212324AB2，可知△ABC为Rt△，其中AB为斜
边，所对角∠C为直角，又由于si
ABC1故A30，则∠BAB2
90°∠A60°，由于本题要计算△DEF的最短边长，故必要设正△DEF的边长为l，且要列出有关l为未知数的方程，对l进行求解。观察△BDE，已知：∠B60°，DEl，再想办法找出另两个量，即可根据正弦定理列出等式，从而产生关于l的方程。在图中，由于EClcosα，则BEBCEC1lcosα。
而∠B∠BDE∠1180°
∠α∠DEF∠1180°∠B60°，∠DEF60°
∠BDE∠α
∴在△BDE中，根据正弦定理：
BFDE1lcosl
si
BDEsi
B
si
si
60
31lcoslsi
33lcoslsi

2
22
3
l
2
3cossi

2
在这里，要使l有最小值，必须分母：3cossi
有最大值，观察：2
3cossi
a3b1a2b232127
2
2
2
2
∴3cossi
721cos27si

2
27
7
设：si
A21，则cosA27
7
7
故：3cossi
7si
AcoscosAsi

2
2
7si
A2
∴3cossi
的最大值为7。
2
2
6
f3即：l的最小值为：221
77
2
而si
A取最大值为1时，A2k2kA
2
2
∴si
si
2kAcosA27
2
7
即：si
27时，△DEF的边长最短，最短边长为21。
7
7
从以上例子可知，形如acosxbsi
x适合于计算三角形函数的极值问题。计算极值时与
式子的加、减是无关，与a2b2的最值有关；其中最大值为a2b2，最小值为a2b2。
在计算三角函数的极值应用题时，只要找出形如acosxbsi
x的关系式，即能根据题意，求出相关的极值。
三角函数知识点解题方法总结一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式
一步到位转换到区间（90，90）的公式1si
kπα1ksi
αk∈r