考点二
求函数的单调区间
必备知识2:求函数的单调区间与确定单调性的方法一致
典题例析
【例3】求下列函数的单调区间.1fx=3x;2fx=x2+2x-3;3y=-x2+2x+1
3x,x≥0,【解】1∵fx=3x=图象如图所示.-3x,x0
fx在-∞,0上是减函数,在0,+∞上是增函数.2令gx=x2+2x-3=x+12-4先作出gx的图象,保留其在x轴及x轴上方部分,把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到fx=x2+2x-3的图象,如图所示.由图象易得:函数的递增区间是-3,-1,1,+∞;
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函数的递减区间是-∞,-3,-11.-x2+2x+1,x≥0,-x-12+2,x≥0,3由于y=2即y=2-x-2x+1,x<0,-x+1+2,x<0画出函数图象如图所示,单调递增区间为-∞,-1和01,单调递减区间为-10和1,+∞.【例4】求函数y=x2+x-6的单调区间.【解】令u=x2+x-6,y=x2+x-6可以看作有y=u与u=x2+x-6的复合函数.由u=x2+x-6≥0,得x≤-3或x≥2∵u=x2+x-6在-∞,-3上是减函数,在2,+∞上是增函数,而y=u在0,+∞上是增函数.∴y=x2+x-6的单调减区间为-∞,-3,单调增区间为2,+∞.
考点三
函数单调性的应用
必备知识3复合函数单调性的判断利用函数单调性求最值的常用结论:如果函数y=fx在区间a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减,则函数y=fx,x∈a,c在x=b处有最大值fb;如果函数y=fx在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增,则函数y=fx,x∈a,c在x=b处有最小值fb.
【多角探明】函数单调性的应用,归纳起来常见的命题角度有:1求函数的值域或最值;2比较两个函数值或两个自变量的大小;3解函数不等式;4利用单调性求参数的取值范围或值角度一:求函数的值域或最值1x,x≥1,【例5】函数fx=的最大值为________.2-x+2,x<11【解析】当x≥1时,函数fx=为减函数,所以fx在x=1处取得最大值,为f1=1;当x<1时,x易知函数fx=-x2+2在x=0处取得最大值,为f0=2故函数fx的最大值为2
角度二:比较函数值或自变量的大小【例6】设函数fx是-∞,+∞上的减函数,则A.faf2aC.fa2+afaB.fa2faD.fa2+1fa
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12322【解析】选D由a2+1-a=a-2+4,得a+1ar