y1cky2cy1y2k21y1y2kcy1y2c2

k2
1b4b2k2
a2

kc24kb2cc2b2k2a2

k2b2a2c2b4b2k2a2
．5
分
f因为OAOB等价于OAOB0，故由上式可知，存在满足条件的直线l，等价于存
在实数
k
，使得
k
2b2a2c2b2k2a2

b4
0k2

a2c2b4．b21c2
①
显然存在k满足①等价于a2c2b40．②15分又b2a2c2，所以②等价于a2c2a2c220，两边除以a4得到
c2a2
1
c2a2
2

0即e2
1
e22

0
．
由于e1，解得：e511．20分2
加试1：（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数abc都有：abc2bac2cab21，并确定等号成立的充要条件．
ab2bc2ca22
解：当abc不全相等时，原不等式等价于2abc22bca22cab2ab2bc2ca2．上式可化简为
2a2b22b2c22c2a212abc2ab2bc2ca即a2b2b2c2c2a2abbcca6abc．①
考虑到a2b2b2c2c2a2abbcca0，故由平均不等式得，
a2b2b2c2c2a2abbcca66a2b2b2c2c2a2abbcca6abc．②
因此原不等式成立．20分下面考虑等号成立的充分必要条件．
注意到②中等号成立的充分必要条件是a2b2b2c2c2a2abbcca．
若abc0，则abbcca，显然abc，与条件矛盾！若abc0，则abbcca0，但abc不全为0，不妨设a0，则bc0．类
似可得其余两种情况，即abc中恰有一个非零．这时原不等式中等式确实成立．
因此，原不等式等号成立当且仅当abc中有两个是0，另一个为正数．40分
2．（本题满分40分）如图，在等腰ABC中，ABAC，设I为其内心，设D为ABC内的一个点，满足IBCD四点共圆，过
点C作BD的平行线，与AD的延长线交于E．求证：
CD2BDCE．
证明：连接BICI．设IBCD四点在圆O上，延长DE交圆O于F，连接FB，FC．
因为BDCE，所以∠DCE180°∠BDC∠BFC．又由于∠CDE∠CDF∠CBF，所以△BFC∽△DCE，从而
DCBF．CEFC
再证明ABAC与圆O相切．
事实上，因为∠ABI1∠ABC1∠ACB∠ICB，所以AB与圆
2
2
O相切．同理AC与圆O相切．20分
因此有△ABD∽△AFB，△ACD∽△AFC，故
fBDABACDC即BFBD．②30分BFAFAFCFFCDC结合①、②，得DCBD，即CD2BDCE．40分
CEDC3．（本题满分50分）证明：存在无穷多个正整数组abcabc2015满足：
abc1bac1cab1．
证明：考虑cab1的特殊情况，此时cab1成立．10分由abc1知，abab11，故ab1．①由bac1知，baab11，故ba1．②
为满足①、②，取akbk1kN此时cab1k2k1．40分
当正整数k2015时，abckk1k2r