k1均符合条件，因此满足条件的正整数组abc有无穷多个．50分
4．（本题满分50分）给定正整数m
2m
，设a1a2am是12
中任取m个
互不相同的数构成的一个排列，如果存在k12m使得akk为奇数，或者存在整数
kl1klm，使得akal，则称a1a2am是一个“好排列”，试确定所有好排列
的个数．
解：首先注意，“存在k12m，使得akk为奇数”是指存在一个数与它所在
的位置序号的奇偶性不同；“存在整数kl1klm，使得akal”意味着排列中存
在逆序，换言之，此排列不具有单调递增性．
将不是好排列的排列称为“坏排列”，下面先求坏排列的个数，再用所有排列数减去坏
排列数．注意坏排列同时满足：（1）奇数位必填奇数，偶数位必填偶数；（2）单调递增．10分
下面来求坏排列的个数．设P是坏排列全体，Q是在12
m中任取m项组成的2
单调递增数列的全体．对于P中的任意一个排列a1a2am，定义
f
a1
a2



am



a12
1

a2
2
2

am
2
m

．
因为ak


k

m，故由条件（1）可知，所有的akk2
均属于集合12
m．再2
由条件（2）可知，akk（k12m）单调递增．故如上定义的f给出了PQ的2
一个映射．显然．f是一个单射．30分
下面证明f是一个满射．事实上，对于Q中任一个数列b1b2bm，令ak2bk1
（k12m）．因为整数bk1bk，故bk1bk1，从而
ak1ak2bk1bk111km1
故a1a2am单调递增．
又a1
1，而am

2
mm2


，及ak

k

2bk
为偶数，故a1a2am
为P
中
的一个排列．显然fa1a2amb1b2bm，故f是一个满射．
综上可见，f是PQ的一个一映射，故PQ．40分
又
Q
中的所有数列与集合12




2
m
的所有
m
元子集一对应，故

Q

Cm
m2

，
f从而
P

Cm
m
．
2
最后，我们用总的排列数
P
m



m
扣除坏排列的数目，得所有的排列的个数为



m


Cm
m2

．
50
分
fr