2015年全国高中数学联合竞赛（A卷）一试
说明：1评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设0分和8分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题份分，满分64分．
1．设ab为不相等的实数，若二次函数fxx2axb满足fafb，则f2
2．若实数满足costa
，则1cos4的值为
．
si

3．已知复数数列z
满足z11z
1z
1
i
12，则z2015
．
4．在矩形ABCD中，AB2AD1，线段DC上的动点P与CB延长线上的动点Q满
足条件DPBQ，则PAPQ的最小值为
．
5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为
．
6．在平面直角坐标系中，点集xyx3y63xy60所对应的平面区域的
面积为
．
7．设为正实数，若存在实数abab2，使得si
asi
b2，则的取
值范围为
．
8．对四位数abcd，若abbccd则称abcd为P类数，若abbccd，
则称abcd为Q类数，则P类数总量与Q类数总量之差等于
．
三、解答题
9．（本题满分16分）若实数abc满足2a4b2c4a2b4c，求c的最小值．
1
f10．（本题满分20分）设a1a2a3a4为四个有理数，使得：
aiaj1i
j4


242
32

18
13
，求
a1

a2

a3

a4
的值．
11．（本题满分
20
分）设
F1
F2
分别为椭圆
x22

y2
1的左右焦点，设不经过焦点
F1的直
线l与椭圆交于两个不同的点AB，焦点F2到直线l的距离为d，如果AF1lBF1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围．
2
f加试
1．（本题满分40分）设a1a2a
2是实数，证明：可以选取12
11，





使得ai2iai2
1ai2．
i1
i1
i1
2．（本题满分40分）设SA1A2A
其中A1A2A
是
个互不相同的有限集合

2，满足对任意的AiAjS
，均有Ai
AjS
，若k
mi
1i

Ai
2，证明：存在
x


i1
Ai
，使得
x
属于
A1
A2

A

中的至少

k
个集合．
3
f3．（本题满分50分）如图，ABC内接于圆O，P为BC弧上一点，点K在AP上，使得BK平分ABC，过KPC三点的圆与边AC交于D，连接BD交圆于E，连接
PE，延长交AB于F，证明：ABC2FCB．
4．（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k：对任意正整数
都有2k1
1不整除k
．

4
f2015年r