OAj22OAiOAj21cosOAiOAj．
故OAiOAj
1的充分必要条件是cosOAiOAj


12
，即向量
OAi

OAj
的夹角
不超过2．3
对任意给定的向量OAi，满足条件OAiOAj1的向量可的取法共有：
23

22015

2

1342
种，故
OAi

OAj
1的概率是：p20151342671．201520141007
四、解答题
9．（本题满分16分）数列a
满足a13对任意正整数m
，均有am
ama
2m
（3）求a
的通项公式；
k
（4）如果存在实数c使得
1c对所有正整数k都成立，求c的取值范围．
ai1i
解：l在am
ama
2m
中令m1可以得到a
的递推公式：
a
1a1a
2
a
32
．
因此a
的通项公式为：
a

a1

132k352
1
1
k1
2


2．8
分
（事实上，对这个数列a
a1133，并且
am
m
m
2m
22m
m22m2
22
2m

ama
2m
．
所以a

2是数列a
的通项公式．
2注意到：11111，所以a

22
2
fk1k111111113111．
a
1
12
222k1k242k1k2
k
故
13并且k
13k，因此c的取值范围是c3．16分
a
1
4
a
1

4
4
10．（本题满分20分）设a1a2a3a4为四个有理数，使得：
aiaj1i
j4


242
32

18
13
，求
a1

a2

a3

a4
的值．
解：由条件可知，aiaj1ij4是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，
由此知，a1a2a3a4的绝对值互不相等，不妨设a1a2a3a4，则
aiaj1ij4中最小的与次小的两个数分别是a1a2及a1a3，最大与次大的
两个数分别是a3a4及a2a4，从而必须有
a1a2a1a3
1
18

10分
a2a43
a3a424
于是a2


18a1

a3

1a1
a4

3a2
24a1．
故a2a3
a1a4


18a12

24a12

2

32
，15
分
结合
a1
Q
，只可能
a1


14
．
由此易知，a1

14a2


12a3

4a4

6或者a1


14a2

12a3

4a4

6
．
检验知这两组解均满足问题的条件．
故a1a2
a3
a4
94
．
20
分
11．（本题满分20分）已知椭圆
x2a2

y2b2
1a
b

0
的右焦点为Fc0，存在经过点F
的一条直线l交椭圆于AB两点，使得OAOB，求该椭圆的离心率的取值范围．
解：设椭圆的右焦点F的坐标为（c0．显然l不是水平直线，设直线l的方程为
xkyc，点A、B的坐标分别为x1y1，x2y2．将直线l的方程与椭圆方程联立，
消去x得b2k2a2y224kb2cyb2c2a20．
由韦达定理

y1y1
y2
y2


24kb2cb2k2a
2
b2c2a2b2k2a2

b4b2k2
a2

OAOBx1x2y1y2kr