思想数学家波利亚曾说：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题。”在立体几何知识的学习中，类比思想显得尤为重要，立体几何具有2个突出的特点：一是要依据平面图形的有关性质和采用许多平面几何的类似研究方法；二是空间图形的问题与平面图形的问题构成一个发展的系列。因此，可以巧妙地利用类比由平面图形的性质去猜测空间图形的有关性质，由平面几何知识引发立体几何的有关知识。例5类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，我们可以选取有3个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象。解：如图（1）所示，在Rt△ABC中，∠C90°。设abc分别表示3条边的长度，由勾股定理，得cab。
B
222
P
a
c
S2S3E
S1D
C
b1
A
2
F
类似地，在四面体PDEF中，∠PDF∠PDE∠EDF90°。设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积（图（2）），相应于图（1）中直角三角形的2条直角边a，b和1条斜边c，图（2）中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S。于是，类比勾股
f定理的结构，我们猜想
S
2

S
21

S
22

S
23
成立。
评析：这是一道典型的运用类比思想解题的题目，用平面图形的某一性质去类比得到空间图形相似的性质。例6（2004年上海春招高考题）在DEF中有余弦定理：
DE2DF2EF22DFEFcosDFE拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABCA1B1C1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明
222分析根据类比猜想得出SAASABBSBCC2SABB1A1SBCC1B1cos1C1C1A11B1
其中为侧面为ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角证明：作斜三棱柱ABCA1B1C1的直截面DEF，则DFE为面ABB1A1与面BCC1B1所成角，在DEF中有余弦定理：
DE2DF2EF22DFEFcos，
同乘以AA1，得
2
DE2AA12DF2AA12EF2AA122DFAA1EFAA1cos
即
222SAASABBSBCC2SABB1A1SBCC1B1cos1C1C1A11B1
评析：本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三棱柱的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习。2．3圆锥曲线中的类比思想
x2y例7（2003年上海春招题）设F，F分别为椭圆C：a2b2
12
2
1ab0的左、右焦
点。已知椭圆C具有性质：M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是r