D底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，PAPDAD2．（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角EDFA的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点G，使GF平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不
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f存在，说明理由．
PEADFB
15（Ⅲ）不存在5
C
【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，关键在于找出线线平行本题条件含中点，故从中位线上找线线平行E，F分别为PA，BD中点，在△PAC中，E是PA中点，F是AC中点，所以EF∥PC．又因为EF平面PBC，PC平面PBC，所以EF∥平面PBC．（Ⅱ）求二面角的大小，有两个思路，一是作出二面角的平面角，这要用到三垂线定理及其逆定理，利用侧面PAD底面ABCD，可得底面ABCD的垂线，再作DF的垂线，就可得二面角的平面角，二是利用空间向量求出大小首先建立空间坐标系取AD中点O．由侧面PAD底面ABCD易得PO面ABCD．以O为原点，OAOFOP分别为xyz轴建立空间直角坐标系．再利用两平面法向量的夹角与二面角的平面角的关系，求出结果，（Ⅲ）存在性问题，一般从假设存在出发，构造等量关系，将存在是否转化为方程是否有解
PEADFBC
证明：（Ⅰ）如图，连结AC．因为底面ABCD是正方形，所以AC与BD互相平分．又因为F是BD中点，所以F是AC中点．在△PAC中，E是PA中点，F是AC中点，所以EF∥PC．又因为EF平面PBC，PC平面PBC，所以EF∥平面PBC．（Ⅱ）取AD中点O．在△PAD中，因为PAPD，所以POAD．
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4分
f因为面PAD底面ABCD，且面PAD面ABCDAD，所以PO面ABCD．因为OF平面ABCD所以POOF．又因为F是AC中点，所以OFAD．
zPEAxODFBCy
如图，以O为原点，OAOFOP分别为xyz轴建立空间直角坐标系．因为PAPDAD2，所以OP3，则O00，A100，B120，C120，
13D100，P003，E0，F010．22
于是AB020，DE0
32
3，DF110．2
因为OP面ABCD，所以OP003是平面FAD的一个法向量．设平面EFD的一个法向量是
x0y0z0．
x0y00
DF0y0x0因为所以3即3z00z03x0x0
DE022
令x01则
113．所以cosOP

OP
OP


335

15．5
15．10分5
由图可知，二面角Er