北京市海淀区2021届新高考第一次模拟数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数
f

x

l
xx
，
g
x

xex
若存在
x1
0，
x2

R
使得
f
x1

gx2


k
k

0
成
立，则

x2x1
2
ek
的最大值为（
）
A．e2
C．
4e2
【答案】C
【解析】
B．e
D．
1e2
【分析】
由题意可知，gxfex，由fx1gx2kk0可得出0x11，x20，利用导数可得出
函数yfx在区间01上单调递增，函数ygx在区间0上单调递增，进而可得出x1ex2，
由此可得出x2
x1

x2ex2

g
x2


k
，可得出


x2x1
2

ek
k2ek，构造函数h
k
k2ek，利用导数求出函数
yhk在k0上的最大值即可得解
【详解】
Q
f
x
l
xx
，gx
xex

l
exex

f
ex
，
由于
f
x1

l
x1x1

k

0，则l

x1

0

0

x1
1，同理可知，
x2

0
，
函数
y

f
x的定义域为0，
f
x

1l
x2
x

0
对x01恒成立，所以，函数
y

f
x在
区间01上单调递增，同理可知，函数ygx在区间0上单调递增，
fx1gx2f
ex2
，则
x1

ex2
，
x2x1
x2ex2
g
x2

k
，则


x2x1
2
ek

k2ek
，
构造函数hkk2ek，其中k0，则hkk22kekkk2ek
当k2时，hk0，此时函数yhk单调递增；当2k0时，hk0，此时函数yhk
单调递减
所以，
hkmax

h2

4e2

f故选：C【点睛】本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度2．下列四个结论中正确的个数是
（1）对于命题px0R使得x0210，则pxR都有x210；
（2）已知XN22，则PX205
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（45），则回归直线方程为y2x3；
（4）“x1”是“x12”的充分不必要条件x
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的
性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）
中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．
【详解】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题px0R使得x0210，则pxR
都有x210，是错误的；
（2）中，已知XN22，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为x2，所以PX205
是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计r