相消法求数列的前
项和，训练了利用放缩法证明数列不等式，属难题．21．（14分）已知函数f（x）（2a）l
x2ax（a≤0）．（Ⅰ）当a0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（3，2），x1，x2∈，恒有（ml
3）a2l
3＞f（x1）f（x2）成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a0时，f（x）2l
x，求导，令f′（x）0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（3，2）及x1，x2∈，恒有（ml
3）a2l
3＞f（x1）f（x2）成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，∞），当a0时，f（x）2l
x，f′（x），
令f′（x）0，解得x，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）2l
22l
2
∴f（x）的极小值为22l
2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）2a，
版权所有：中华资源库wwwziyua
kucom
f当a＜2时，＜，令f′（x）＜0得0＜x＜或x＞，令f′（x）＞0得＜x＜；当2＜a＜0时，得＞，令f′（x）＜0得0＜x＜或x＞，令f′（x）＞0得＜x＜；
当a2时，f′（x）
≤0，
综上所述，当a＜2时f（x），的递减区间为（0，）和（，∞），递增区间为（，）；当a2时，f（x）在（0，∞）单调递减；当2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（，∞），递增区间为（，）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（3，2）时，f（x）在区间上单调递减，当x1时，f（x）取最大值；当x3时，f（x）取最小值；f（x1）f（x2）≤f（1）f（3）（12a）4a（a2）l
3，∵（ml
3）al
3＞f（x1）f（x2）恒成立，∴（ml
3）a2l
3＞4a（a2）l
3整理得ma＞4a，∵a＜0，∴m＜4恒成立，＜4＜，
∵3＜a＜2，∴∴m≤．
点评：考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属难题．
版权所有：中华资源库wwwziyua
kucom
fr