利用空间向量求空间角
一、基础知识
1．异面直线所成角ab
设异面直线a，b所成的角为θ，则cosθ＝，其中a，b分别是直线a，b的方向ab
向量．2．直线与平面所成角如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，
为平面α的法向量，a
φ为l与α所成的角，则si
φ＝cos〈a，
〉＝a
3．二面角1若AB，CD分别是二面角αlβ的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角或其补角的大小就是向量—A→B与—C→D的夹角，如图1．
2平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为
1，平面β的法向量为
2，〈
1，
2〉＝θ，则二面角αlβ为θ或π－θ设二面角大小为φ，则cosφ＝cosθ＝
1
2，如图23．
1
2两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为0，π，所以公式中要加绝对值．
直线与平面所成角的范围为0，π2，而向量之间的夹角的范围为0，π，所以公式中
要加绝对值．利用公式与二面角的平面角时，要注意〈
1，
2〉与二面角大小的关系，是相等还是
互补，需要结合图形进行判断．
f二、常用结论
解空间角最值问题时往往会用到最小角定理cosθ＝cosθ1cosθ2
如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cosθ＝cosθ1cosθ2
考点一异面直线所成的角
典例精析如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝21求证：MN∥平面BDE；2已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为217，求线段AH的长．解由题意知，AB，AC，AP两两垂直，故以A为原点，分别以—A→B，—A→C，—A→P方向为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．依题意可得A0，00，B2，00，C040，P0，04，D002，E022，M0，01，N120．1证明：—D→E＝020，—D→B＝20，－2．设
＝x，y，z为平面BDE的法向量，

—D→E＝0，则
—D→B＝0，
即2y＝0，2x－2z＝0
不妨取z＝1，可得
＝101．又—M→N＝12，－1，可得—M→N
＝0因为MN平面BDE，所以MN∥平面BDE
f2依题意，设AH＝h0≤h≤4，则H00，h，
进而可得—N→H＝－1，－2，h，—B→E＝－222．
由已知，得cos〈—N→H，—B→E〉＝——N→→H——B→→ENHBE
＝
2h－2h2＋5×2
＝3
217，
整理得10h2－21h＋8r