数值分析实验五
组号班级学号姓名
非线性方程求根
分数
一、实验目的
1、掌握用MATLAB软件求解非线性方程和方程组的基本用法，并对结果做出初步的分析。2、学会用二分法、牛顿法求非线性方程的根。
二、实验内容及基本知识介绍
1、二分法、假设fx∈Cab，由连续函数的性质知，如果区间ab内存在相异的两点x1x2对在此我们假设fafb0称应的函数值异号。则方程fx0在x1x2内至少有一个根。
ab为有根区间。
y
yfx
a1
b1
x

O
a
x0
b
x
为了找到ab内的根α，令ax1bx2，则可以按下面的二分法计算第一步：取中间中点c
ab并计算fc2
第二步：如果fc≈0或ca≈0则认为ac，算法终止；如果fc比较大，fc则或大于零或小于零，因而必与fa或fb异号，就是说要么区间ac中存在方程的根，要么区间cb中存在方程的根，如果ac中存在方程的根，即fafc0令bc。返回
1
f第一步。如果cb中存在方程的根，即fbfc0，令ac，也返回第一步。按二分法求根，只会出现两种情况：一种情况是在某一步fc≈0成立；一种情况是不断更新的区间ab的长度h逐次减半，直到趋于零，这时，因为α∈ab，所以我们就可以认为αc，因此，二分法必有限步终止。2、牛顿法、计算公式为
xk1xkfxkf′xk
定理
k012…

设所要求解的方程为fx0，且此方程有根x。如果fx≠0，而且f′′x在x
得某个邻域上连续，则牛顿法是局部收敛的并且至少是二阶收敛的。设fx其单根x附近有连续的二阶导数，将fx在xxk1处泰勒展开得

从而
f′′ξxxk122f′′ξfxfxk1f′xk1xxk1xxk122fxfxk1f′xxk1

当xk1充分靠近x时，得
fx≈fxk1f′xk1xxk1
这样fx0导出
x≈xk1
由此结果我们预期xk1
fxk1f′xk1
fxk1因此xk1精度更高的近似值。这样牛顿迭代法f′xk1fxk1f′xk1
（）
xkxk1
y
L
x
2
x2
x1
x0
x
f从几何上理解，牛顿迭代法每次迭代是用切线代替曲线，所以又称切线法。牛顿迭代法的映射为gxx

fx显见xgx等价于fx0，故迭代式（）定f′x

义合理，由于fx0而x是单根时，f′x≠0
gx1
f′xr