第七章非线性方程求根
（一）问题简介求单变量函数方程
fx0
71
的根是指求x（实数或复数），使得fx0称x为方程71的根也称x为函数fx
的零点若fx可以分解为fxxxmgx
其中m为正整数gx满足gx0则x是方程71的根当m1时称x为单根当m1
时称x为m重根若gx充分光滑x是方程71的m重根则有
fxfxfm1x0fmx0
若fx在ab上连续且fafb0则方程71在ab内至少有一个实根称ab为方程
71的有根区间有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得二方程求根的几种常用方法1二分法
设fx在ab上连续fafb0则fx0在ab内有根x再设fx0在ab内
仅有一个根令a0

ab0

b
计算
x0

12a0
b0和
f
x0若
f
x0

0
则
x
x
结束计
算若fa0fx00则令a1x0b1b得新的有根区间a1b1若fa0fx00则令
a1
a0b1

x0
得新的有根区间
a1b1

a0b0a1b1

b1a1

12b0
a0
再令
1x12a1b1计算fx1同上法得出新的有根区间a2b2如此反复进行可得一有根区
间套
a
b
a
1b
1a0b0
且
a


x

b


012b


a


12
b
1

a1



12

b0

a0

故
l
imb

a


0
lim

x


lim

12
a

b


x
f因此
x


12
a

b
可作为
f
x

0的近似根且有误差估计

x


x
12
1
b

a
72
2迭代法
将方程式71等价变形为
xx
73
若要求x满足fx0则xx反之亦然称x为函数x的一个不动点求方程
71的根等价于求x的不动点由式73产生的不动点迭代关系式也称简单迭代法为
xk1xkk012
74
函数x称为迭代函数如果对任意xk1xkk012由式74产生的序列xk有
极限
lim
k
xk

x
则称不动点迭代法74收敛
定理71不动点存在性定理设xCab满足以下两个条件
1对任意xab有axb
2存在正常数L1使对任意xyab都有xyxy
75
则x在ab上存在惟一的不动点x
定理72不动点迭代法的全局收敛性定理设xCab满足定理71中的两个条件则对
任意x0ab由74式得到的迭代序列xk收敛到x的不动点并有误差估计式
L
xkx1Lxkxk1
76
和

xk

x
Lk1L

xk

xk1

77
定理73不动点迭代法的局部收敛性定理设x为x的不动点x在x的某个邻域连
续且x1则迭代法74局部收敛
收敛阶的概念
设迭代过程74收敛于方程xx的根x如果迭代r