．对任意给定的a1，只要apaq，则由b1si
apb1si
aq，必有ap1aq1．充分性得证．必要性：用反证法证明．假设b
不是常数列，则存在k，

304，a2a6，3
使得b1b2bkb，而bk1b．下面证明存在满足a
1b
si
a
的a
，使得a1a2ak1，但ak2ak1．设fxxsi
xb，取m，使得mb，则

fmmb0，fmmb0，故存在c使得fc0．
取a1c，因为a
1bsi
a
（1
k），所以a2bsi
cca1，依此类推，得a1a2ak1c．但ak2bk1si
ak1bk1si
cbsi
c，即ak2ak1．所以a
不具有性质，矛盾．
f必要性得证．综上，“对任意a1，a
都具有性质”的充要条件为“b
是常数列”．
4、（2016年四川高考）已知数列a
的首项为1，S
为数列a
的前
项和，S
1qS
1，其中q0，
N（I）若2a2a3a22成等差数列，求a
的通项公式；ii设双曲线x2
y24
3
5的离心率为，且，证明：eeeee1212
233
1a

【答案】（Ⅰ）a
q
1；（Ⅱ）详见解析解析：（Ⅰ）由已知，S
1qS
1S
2qS
11两式相减得到a
2qa
1
1又由S2qS11得到a2qa1，故a
1qa
对所有
1都成立所以，数列a
是首项为1，公比为q的等比数列从而a
q
1由2a2，a3，a22成等比数列，可得2a33a22，即2q23q2，则2q1q20，由已知q0，故q2所以a
2
1
N（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a
q
1所以双曲线x2y21的离心率e
1a
21q2
1a
2

由q1q2
54解得q33
1因为1q2k1q2k1，所以1q2k1qk（kN）
e
1q鬃q
1于是e1e2鬃
q
1，q1
故e1e2鬃e3
4
3
3
1
5、（2016年天津高考）已知a
是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的
Nb
是a
和a
1的
f等比中项
22Ⅰ设c
b
1b
N，求证：c
是等差数列；
2

Ⅱ设a1dT

1
k1


b
2
N，求证：
1122dk1Tk


【解析】⑴C
b
12b
2a
1a
2a
a
12da
1∴C
为等差数列
2
k1
C
1C
2da
2a
12d2为定值．

14d2r