的自然数，不等式1＋1＋1＋352
＋11均成立．22
－1证明右边＝141当
＝2时，左边＝1＋＝；33521成立．k＋1
∵左边右边，∴不等式成立．2假设
＝kk≥2，且k∈N＋时不等式成立，即
f2k＋11111＋1＋1＋3522k－1则当
＝k＋1时，2k＋12k＋22k＋211111＋1＋1＋1＋＝3522k－12k＋1－12k＋122k＋1＝4k2＋8k＋44k2＋8k＋322k＋122k＋12k＋32k＋12k＋1＋1＝222k＋1
＝
∴当
＝k＋1时，不等式也成立．由12知，对于一切大于1的自然数
，不等式都成立．题型三归纳猜想证明例3a
1已知数列a
的前
项和S
满足：S
＝＋－1，且a
0，
∈N＋2a
1求a1，a2，a3，并猜想a
的通项公式；2证明通项公式的正确性．思维启迪通过计算a1，a2，a3寻求规律猜想a
的通项公式，然后用数学归纳法证明．1解当
＝1时，a11由已知得a1＝＋－1，a21＋2a1－2＝02a1∴a1＝3－1a10．a21当
＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，2a2将a1＝3－1代入并整理得a22＋23a2－2＝0∴a2＝5－3a20．同理可得a3＝7－5猜想a
＝2
＋1－2
－1
∈N＋．2证明①由1知，当
＝123时，通项公式成立．②假设当
＝kk≥3，k∈N＋时，通项公式成立，即ak＝2k＋1－2k－1ak＋11ak1由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，2ak＋12ak将ak＝2k＋1－2k－1代入上式并整理得a2k＋1＋22k＋1ak＋1－2＝0，解得：ak＋1＝2k＋3－2k＋1a
0．
f即当
＝k＋1时，通项公式也成立．由①和②，可知对所有
∈N＋，a
＝2
＋1－2
－1都成立．思维升华1猜想a
的通项公式是一个由特殊到一般的过程，注意两点：①准确计算
a1，a2，a3发现规律必要时可多计算几项；②证明ak＋1时，ak＋1的求解过程与a2、a3的求解过程相似，注意体会特殊性与一般性的辩证关系．2“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式．1已知函数fx＝x3－x，数列a
满足条件：a1≥1，a
＋1≥f′a
＋1，试比3较解1111＋＋＋＋与1的大小，并说明理由．1＋a11＋a21＋a31＋a
∵f′x＝x2－1，且a
＋1≥f′a
＋1，
∴a
＋1≥a
＋12－1，∵函数gx＝x＋12－1在1，＋∞上单调递增．于是由a1≥1得a2≥a1＋12－1≥22－1，进而a3≥a2＋12－1≥24－123－1，由此猜想：a
≥2
－1下面r