352k－12k＋1，
＋
这就是说当
＝k＋1时等式也成立．由①②可知，对所有
∈N＋等式成立．思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意1明确初始值
0的取值并验证
＝
0时等式成立．
f2由
＝k证明
＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．3掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．111用数学归纳法证明：对任意的
∈N＋，＋＋＋＝1×33×52
－12
＋1
2
＋1证明右边＝111当
＝1时，左边＝＝，1×3311＝，2×1＋13
左边＝右边，所以等式成立．2假设当
＝kk∈N＋时等式成立，即有111k＋＋＋＝，1×33×52k－12k＋12k＋1则当
＝k＋1时，1111＋＋＋＋1×33×52k－12k＋12k＋12k＋3＝k2k＋3＋1k1＋＝2k＋12k＋12k＋32k＋12k＋3
2k2＋3k＋1k＋1k＋1＝＝＝，2k＋12k＋32k＋32k＋1＋1所以当
＝k＋1时，等式也成立．由12可知，对一切
∈N＋等式都成立．题型二用数学归纳法证明不等式例231111已知函数fx＝ax－x2的最大值不大于，又当x∈，时，fx≥264281求a的值；112设0a1，a
＋1＝fa
，
∈N＋，证明：a
2
＋1思维启迪1利用题中条件分别确定a的范围，进而求a；
2利用数学归纳法证明．1解33aa2由题意，知fx＝ax－x2＝－x－2＋2236
1aa21又fxmax≤，所以f＝≤6366所以a2≤1111又x∈，时，fx≥，428
ff2≥8，所以11f4≥8，
解得a≥1
1
1
2－8≥8，即a314－32≥8，
a31
又因为a2≤1，所以a＝12证明用数学归纳法证明：1①当
＝1时，0a1，显然结论成立．211因为当x∈0，时，0fx≤，2611所以0a2＝fa1≤63故
＝2时，原不等式也成立．②假设当
＝kk≥2，k∈N＋时，不等式0ak31因为fx＝ax－x2的对称轴为直线x＝，231所以当x∈0，时，fx为增函数．3111所以由0ak≤，得0fakf．k＋13k＋1k＋41311111于是，0ak＋1＝fak－－＝－2＋22k＋1k＋1k＋2k＋2k＋22k＋1k＋2k＋2所以当
＝k＋1时，原不等式也成立．1根据①②，知对任何
∈N＋，不等式a
成立．
＋1思维升华用数学归纳法证明不等式的关键是由
＝k时命题成立证
＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．11用数学归纳法证明：对一切大于1r