高中数学讲义之解析几何
圆锥曲线第1讲椭圆
【知识要点】一、椭圆的定义1椭圆的第一定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定长2a（2aF1F2）的点的轨迹叫椭圆，这两
个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作2a）大于这两个定点之
间的距离F1F2（记作2c），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下：（）当2a2c时，点的轨迹是椭圆；
（）当2a2c时，点的轨迹是线段F1F2；（）当2a2c时，点的轨迹不存在。注2：若用M表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为MF1MF22a（2a2c，F1F22c），即MF1MF2F1F2
注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条
件：MF1MF22a千万不可忘记。
2椭圆的第二定义：
平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e（0e1）的点的轨迹叫做
椭圆。
二、椭圆的标准方程
（1）焦点在x轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是
x2a2

y2b2
1（a

b

0）；
（2）焦点在
y轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是
y2a2

x2b2
1（a
b

0）
1
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注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x轴还是在y轴，主要看长半轴跟
谁走。长半轴跟x走，椭圆的焦点在x轴；长半轴跟y走，椭圆的焦点在y轴。
（1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设
x2y2
y2x2
其方程为a2

b2
1（ab0）或a2

b2
1（ab0）；若题目未指明椭圆的焦
点究竟是在x轴上还是y轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为mx2
y21
（m0，
0，且m
）
三、椭圆的性质
x2y21以标准方程a2b2（ab0）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。
（1）范围：axa，byb；（2）对称性：关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称；
（3）顶点：左右顶点分别为A1a0，A2a0；上下顶点分别为B10b，B20b；
（4）长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c；
（5）长半轴a、短半轴b、半焦距c之间的关系为a2b2c2；
xa2
（6）准线方程：
c；
b2（7）焦准距：c；
ec（8）离心率：a且0e1e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁；
（9）焦半径：若Px0
y0
为椭圆
x2a2

y2b2
1
在第一象限内一点，则由椭圆的第二定义，
有PF1aex0，PF2aex0；
2
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2b2（10）通径长：a
注1：椭圆的r