的值进而可得椭圆E的方程
试题解析I过点0c0b的直线方程为0bxcybc
则原点O
到直线的距离bc
da

由1
2
d
c得2222abac解得离心率
32
caII解法一由I知椭圆E的方程为2
2
244x
yb1
依题意圆心21M是线段AB的中点且AB10
易知AB不与轴垂直设其直线方程为21y
kx代入1得2222
1482142140kxkkxkb
设1122yByAxx则22
12
12
2
2
821
42141414kkkbxxxxkk
由1
2
4xx得2
821414kkk
解得12
k
从而212
82xx
b
于是12ABxx
由AB
10得210解得2
3b
故椭圆E的方程为
2
21123
xy
解法二由I知椭圆E的方程为2
2244x
yb
f
因此AB直线方程为1
212yx代入2得224820xxb
所以1
24xx212
82xxb
于是
2
2
212121215AB1410222xxxxxxb

由AB
10得210210b解得2
3b
故椭圆E的方程为
2
21123
xy
考点1、直线方程2、点到直线的距离公式3、椭圆的简单几何性质4、椭圆的方程5、圆的方程6、直线与圆的位置关系7、直线与圆锥曲线的位置
18【2016高考浙江理数】本题满分15分如图设椭圆22
21xya
a1
I求直线ykx1被椭圆截得的线段长用a、k表示
II若任意以点A01为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点求椭圆离心率的取值范围
f
【答案】I22
22211akkakII20e≤
【解析】
试题分析I先联立1ykx和22
21xya
可得1x2x再利用弦长公式可得直线
1ykx被椭圆截得的线段长II先假设圆与椭圆的公共点有4个再利用对称性及已知
条件可得任意以点01A为圆心的圆与椭圆至多有个公共点时a的取值范围进而可得椭圆离心率的取值范围
试题解析I设直线1ykx被椭圆截得的线段为AP由22
21
1ykxxya
得22
2
2120akx
akx
故
10x2222
21ak
xak
因此
22
2
1222
2111akkxkak
APII假设圆与椭圆的公共点有4个由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点PQ满足
QAPA
记直线APQA的斜率分别为1k2k且1k20k12kk≠由I知
22
111
21akkAP
22
22
2
21QakkA
f故
因此
22
2212111112aakk
①因为①式关于1k2k的方程有解的充要条件是
22121aa所以2a
因此任意以点01A为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为
12a≤由21
caea
a
得所求离心率的取值范围为202
e≤考点1、弦长2、圆与椭圆的位置关系3、椭圆的离心率
19【2015高考新课标2理20】本题满分12分
已知椭圆2
2
2
90Cxymm直线不过原点O且不平行于坐标轴与C有两个交点A
B线段AB的中点为M
Ⅰ证明直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值Ⅱr