解析几何专题点差法
在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：
设弦的两个端点坐标分别为x1y1、x2y2，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中
点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率本文列举数例，以供参考1求弦中点的轨迹方程
例1已知椭圆x2y21，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程2
解设弦的两个端点分别为Px1y1Qx2y2，PQ的中点为Mxy
则
x122

y12
1，（1）
x222

y22
1，（2）
12得：x12x222
y12y22
0，

x1
x22

y1x1

y2x2
y1

y2
0
又x1
x2

2xy1

y2

2y
y1x1
y2x2

2，x4y
0
弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为x4y0（在已知椭圆
内）
例2直线laxya50（a是参数）与抛物线fyx12的相交弦是
AB，则弦AB的中点轨迹方程是

解设Ax1y1、Bx2y2，AB中点Mxy，则x1x22x
lax1y50，l过定点N15，kAB

kMN

y5x1
又y1x112，（1）y2x212，（2）
12得：y1y2x112x212x1x2x1x22，
kAB

y1y2x1x2

x1x2
2
1
f于是y52x2，即y2x27x1
弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为y2x27（在已知抛
物线内）2求曲线方程
例3已知ABC的三个顶点都在抛物线y232x上，其中A28，且ABC的
重心G是抛物线的焦点，求直线BC的方程
解由已知抛物线方程得G80设BC的中点为Mx0y0，则A、G、M三点共
线，且
AG
2GM
，G分AM
22x0
所成比为
2
，于是

1282y0
8，
0
12
解得
x0

y0
114
，M
114
设Bx1y1Cx2y2，则y1y28
又y1232x1，（1）y2232x2，（2）
12得：y12
y22
32x1x2，kBC

y1y2x1x2

32y1y2

328
4
BC所在直线方程为y44x11，即4xy400
例4
已知椭圆x2a2

y2b2
1ab0的一条准线方程是x1，有一条倾斜角为
4
的直线交椭圆于
A、B
两点，若
AB
的中点为
C


12

14

，求椭圆方程
解
设
Ax1y1、Bx2y2
，则
x1x2
1y1
y2

12
，且
x12a2

y12b2
1，（1）
x22a2

y22b2
1，（2）
1

2
得：
x12
a2
x22
y12y22b2
，y1y2x1x2
b2x1x2a2y1y2
b2
a2
1，1
2
2
f1kAB

y1y2x1x2

2b2a2
，a2
2b2，（3）
又a21，a2c，（4）c
而a2b2c2，（5）由（3），（4），（5）可得a21b21，
24所求椭圆方程为x2y21
11243求直线的斜率
例5
已知椭圆
x225
y29
1上不同的三点
A

x1
r