高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1极限的保号性很重要：设
xx0
lim
fxA，
（i）若A0，则有0，使得当0xx0时，fx0；（ii）若有0使得当0xx0时，fx0则A0。2极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为x时函数的极限和xx0的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（i）数列x
收敛于a的充要条件是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的
充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”（ii）limfxAlimfxlimA
xx

x
iii
xx0
lim
fxA
xx0
lim
xx0
lim
A

iv单调有界准则（v）两边夹挤准则（夹逼定理夹逼原理）（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限
00使得当x1、x2Ux0时，恒有
o
lim
fx存在的充分必要条件是：
xx0
fx1fx2
二．解决极限的方法如下：
1等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。．．2洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的
当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（i）“
00
”“

”时候直接用
ii“0”“”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成i中的形式了。即fxgxfx或fxgxgx；fxgx
11gxfx
1gx1fxgx1fx
00iii“0”“1”“”对于幂指函数方法主要是取指数还取对数的方法，即fx
gx

e
gxl
fx
，
这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0”型未定式。
1
f3泰勒公式含有e的时候，含有正余弦的加减的时候）
e1x
x
x
x
2

x



e
x
2


1
x

1
；
si
xx
x
3

x
5
1
m
x
2m1
3x
2
5x
4
2m1x
2m
1
m1
cosx2m3
x
2m3
cos1

1
m
1
mr