DAM
DA
CEO
C
B
EO
N
B
EO
CF
B
4、相似性之“90°”如图，∠AOB＝∠DCE＝90°，∠COB＝，则CE＝CDta

ADCOEB
方法一：如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M、N
fADMO
CEN
易证△MCD∽△NCE，∴
NECECNta
，即CE＝CDta
MDCDCM
方法二：如图，过点C作CF⊥OC，交OB于点F．
ADCB
O
E
F
易证△DCO∽△ECF，∴
FECECFta
，即CE＝CDta
ODCDCO
方法三：如图，连接DE．
ADCOEB
易证D、O、E、C四点共圆∴∠CDE＝∠COE＝，故CE＝CDta
【拓展】如图，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则CE＝CDta
ACB
OD
E
如图，证明同上．
fAMOD
A
CB
A
CB
OD
CB
N
E
OD
FE
E
例题讲解例1、已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，在∠BAC所对弧BC上任取一点D，连接AD，BD，CD．（1）如图1，若∠BAC＝120°，那么BD＋CD与AD之间的数量关系是什么？（2）如图2，若∠BAC＝，那么BD＋CD与AD之间的数量关系是什么？
D
BDCO
OBA图1C
A图2
解：（1）BD＋CD＝3AD
DOACF图3
B
E
如图3，过点A分别向∠BDC的两边作垂线，垂足分别为E、F．由题意可得∠ADB＝∠ADC＝30°易证△AEB≌△AFC∴BD＋CD＝2DE＝3AD⑵BD＋CD＝2ADsi

2
．
如图4，作∠EAD＝∠BAC，交DB的延长线于点E．
DBEFCO
A图4
f则△EBA≌△DCA，所以BE＝CD，AE＝AD．作AF⊥DE于点F，则∠FAD＝

2
．所以BD＋CD＝DE＝2DF＝2ADsi

2
．
例2如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点F．⑴求证：PA＝PE；⑵如图2，将⑴中的正方形变为矩形，其余不变，且AD＝10，CD＝8，求AP：PE的值；⑶如图3，在⑵的条件下，当P滑动到BD的延长线上时，AP：PE的值是否发生变化？
APDAPDADPF
B
E图1
C
B
E图2
C
B
图3
C
E
解：⑴如图4，过点P分别作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为M，N．则PM＝PN，∠MPN＝90°，由已知条件可得∠APE＝90°，所以∠APM＝∠EPN，所以△APM≌△EPN．故AP＝PE．
AMPD
B
EN图4
C
⑵如图5，过点P分别作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为M，N．则PM∥AD，PN∥CD．所以△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD．可得易证△APM∽△EPN，所以
APPM5．PEPN4
AMPD
PMBPPNPMAD5，所以．ADBDCDPNCD4
B
EN图5
C
⑶AP：PF的值不变．如图，理由同⑵
fMA
D
PF
B
图6
C
NE
进阶训练1．如图，四边形ABCD被对角线BD分为等腰Rt△ABD和Rt△CBD，其中∠BAD和∠BCD都是直角，另一条对角线AC的长r